Projektive Geometrie

Zusammenfassung

Wie wir gesehen haben, hat die affine Geometrie ihren Ursprung in der Parallelprojektion. Weit häufiger trifft man in der Natur Zentralprojektionen an, etwa bei Abbildungen des Raumes mit Hilfe einer Linse oder einer Lochkamera auf eine Ebene. Um diesen Vorgang mathematisch zu beschreiben, wählen wir im IR³ einen Punkt z als Projektionszentrum (das Loch in der Kamera) und eine nicht durch z gehende Ebene Y als Bildebene. Für fast alle Punkte p ∈ IR³ kann man einen Bildpunkt f (p) ∈ Y finden: Man zeichnet die Gerade, die p mit z verbindet (sie entspricht einem Lichtstrahl) und sucht ihren Schnittpunkt f (p) mit Y. Dieser existiert für alle Punkte p, die nicht in der zu Y parallelen Ebene Y’ durch z enthalten sind. Das ergibt eine Abbildung (Bild 3.1) Sei r ein onz verschiedener Punkt aus Y^’. Betrachtet man eine Folge Punkten (r_i) außerhald Y^’, die gegen r konvergiert, so divergieren die Bilder f(r_i) in Y einer durch r festgelegten Richtung. Daher heißt r Fluchtpunkt und Y^’ Fluchtebene.