Arithmetische Probleme

Zusammenfassung

In der Zahlentheorie — die manchmal auch als „höhere Arithmetik“ bezeichnet wird — gibt es eine beträchtliche Anzahl ungelöster Probleme von ganz erheblichem Schwierigkeitsgrad. Wir finden hier ein Beispiel für das Phänomen, das wir in Kapitel 1 diskutiert haben: Einige Probleme der Zahlentheorie, deren Behandlung mit numerischen Methoden äußerst schwierig ist, sind kürzlich durch Einbettung in die Analysis gelöst worden. Weil die Zahlentheorie sich ausschließlich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen 1, 2, 3, 4,... beschäftigt, war es höchst erstaunlich, daß man mit Methoden, die man normalerweise nur bei stetigen Prozessen anwendet, hier überhaupt zu Ergebnissen kommen konnte. In der Analysis hat man es bekanntlich mit Variablen zu tun, die jeden beliebigen reellen Wert annehmen können (einschließlich der ganzen Zahlen, aber auch einschließlich der unendlich vielen Zahlen, die zwischen den ganzen Zahlen liegen). Die meisten neueren Ergebnisse der Zahlentheorie wurden mit Hilfe analytischer Verfahren erreicht, daher darf man mit Grund hoffen, daß in dieser Richtung noch weitere Fortschritte zu erwarten sind.