Zusammenfassung
Im vorliegenden Kapitel wird die Abhängigkeit des Wertes der DO-Option von ihren Variablen untersucht. Dabei wird die Analyse wieder auf den Fall des Brown-schen Prozesses beschränkt, da alle Resultate auch auf den Binomialprozess mit Brownscher Parameteranpassung übertragbar sind.
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Literatur
In diesem Abschnitt wird D = Do bzw. Da = 0 angenommen.
Der Begriff Übersicherung wird in der vorliegenden Untersuchung ausschließlich in dem hier definierten und in Abbildung 7.1 veranschaulichten Sinne gebraucht und nicht als juristischer Terminus.
Vgl. die Darstellung im einführenden Kapitel 1 und die dort zitierten Arbeiten.
Aus der Homogenität folgt (Manths)
In den folgenden Gleichungen werden die Argumentfunktionen der Komponenten der DO-Option aus Abschnitt 6.2 weiterverwendet. Ein umgekehrter Rundbogen über dem Symbol einer Argumentfunktion wie in fei bedeutet, daß in der Argumentfunktion ζC1 Ft durch FTb2 zu ersetzen ist, wie es in der zweiten Kaufoption DC in der vereinfachten Gleichung (7.14) für Do erfolgte. Die hier zum Vergleich mit den entsprechenden Ergebnissen für die Komponente Do aufgeführten partiellen Ableitungen der einfachen Kaufoption DC sind in der Literatur wohlbekannt, vgl. beispielsweise Cox und Rubinstein (1985), S. 221.
Die hier zum Vergleich mit aufgeführten Grenzwerte der einfachen Kaufoption DC sind in der Literatur wohlbekannt, vgl. beispielsweise Cox und Rubinstein (1985), S. 215.
Vgl. S. 253 ff.
Die Größen A, 0, T und ft können für jede Option definiert werden. Es wurde daher auf die explizite Angabe der zu differenzierenden Option Do bzw. Dc verzichtet. Für eine Erläuterung dieser Begriffe sei auf Hull (1989), Chapter 8, sowie auf Cox und Rubinstein (1985), S. 220 ff. verwiesen.
In den in der vorangehenden Fußnote angegebenen Quellen wird auf diese Zusammenhänge näher eingegangen.
Merton (1974)
Aus der Fülle der hierzu durchgeführten Untersuchungen sei hier nur auf die Monographien von Cox und Rubinstein (1985), S. 375 ff., Ingersoll (1987 a), Chapter 19 sowie Jurgeit (1989) und die dort angegebene Literatur verwiesen. Insbesondere die Arbeit von Jurgeit gibt einen sehr guten Überblick über den Stand der Literatur.
Vgl. beispielsweise Cox und Rubinstein (1985), S. 383, Ingersoll (1987 a), S. 424, und insbesondere Lohmann (1990), S. 205 ff., der eine ausführlichere Diskussion der Zusammenhänge bietet.
Die Bewertung von Haftungsleistungen behandelt Lohmanri (1990), wobei neben Eigen-und Fremdkapitalkostensätzen auch ein Haftungskostensatz eingeführt wird, vgl. S. 215 der angeführten Arbeit. Das optionstheoretische Modell gestattet hier eine Modellierung dieser Kostensätze im Zeitablauf, da sie (deterministisch) von der stochastischen Vermögensentwicklung abhängen. Simulationsstudien hierzu finden sich bei Lohmann (1991), Abschnitt 3.6.1.
Empirische Schätzungen von σ für Aktienkurse findet man beispielsweise bei Bookstaber (1981), S. 213 ff., sowie Bookstaber und Clarke (1983), S. 135. Die dort angegebenen Werte liegen etwa zwischen 0.1 und 0.6 p.a. Schätzungen für die Volatilität σ des gesamten Unternehmenswertes wurden von Jones, Mason und Rosenfeld (1984) vorgelegt, vgl. S. 615 ff. und insbesondere Table 1, S. 618. Ihre Schätzungen liegen ebenfalls in dem oben genannten Wertebereich.
Man könnte den Schwellwert ä alternativ auch durch den Wert von a definieren, bei dem der Optionswert sein Maximum bis auf den kleinen positiven Abstand x erreicht hat. Dann ergäben sich die Bedingungsgleichungen Dc(σ) = Vt — x bzw. Do(σ) = (Vt/b — bFTT-T) — x.
Es zeigt sich, daß die Vorzeichen dieser Kreuzableitungen im wesentlichen von dem Verhältnis zwischen Vt und Ft abhängen. Genauer ergeben sich meist Schwellwerte der Form (Maths) ab denen eine eindeutige Aussage möglich ist.
Vgl. die Diskussion im einführenden Kapitel 1 und die dort angegebene Literatur, insb. Deppe (1989) und Liebau (1989).
Daher gilt (Maths)
Die Bestimmung der Vorzeichen der partiellen Ableitungen ist wegen g > 1 bei f> 1 schwieriger als im Fall f < 1.
Auf die Darstellung des Beweises wird aus Raumgründen verzichtet. Er führt nicht zu neuen Einsichten.
Auf die Angabe der Beweise wird hier aus Raumgründen verzichtet. Sie vermitteln keine neuen ökonomisch relevanten Einsichten.
Diese Maxima wurden nach Kenntnis des Verfassers erstmalig von Chesney und Gibson (1993) bei numerischen Untersuchungen der Bewertungsgleichung für DO-Optionen nach Cox und Rubinstein (1985), S. 410, bei Vernachlässigung der Ausgleichszahlung (A(t) = 0) gefunden. Der Verfasser kann die Ergebnisse dieser Autoren für eine konstante und absolut fixierte Ruinschranke bestätigen, soweit sie sich auf die in der vorliegenden Arbeit als Untersichungsfall klassifizierten Parameterkonstellationen beziehen. Durch die Einschränkung auf konstante und absolut fixierte Ruinschranken entgeht ihnen jedoch, daß in den ökonomisch besonders interessanten Fällen einer (mit r) ansteigenden Ruinschranke diese Maxima nicht existieren (was insbesondere für b = 1 auch ohne Optionspreistheorie leicht zu sehen ist). Dann sind jedoch auch die auf der Existenz dieser Maxima basierenden Folgerungen über den Einfluß von Parameteränderungen auf die Risikoanzreize in der Investitionspolitik hinfällig. Wie in dieser Arbeit gezeigt wurde, kann man diese Anreize zweckmäßig durch die ä genannten Schwellwerte beschreiben. Man kommt so zu ökonomisch plausiblen Ergebnissen, ohne daß es auf die Existenz der Maxima ankommt. Dennoch ist die Existenz dieser Maxima zweifellos bedeutsam, und das Verdienst ihrer Entdeckung kommt den beiden genannten Autoren zu.
Das ist nicht notwendig der Fall, vgl. die Sensitivitätsanalyse der Ruinwahrscheinlichkeiten.
Der Graph im oberen Bild (b = 1.5) zu s = 1.30 weist bei σ ≈ 0.1 eine Knickstelle auf. Sie ist auf einen Artefakt des verwendeten Graphikprogrammes zurückzuführen. Sie existiert in Wirklichkeit nicht.
Der Graph im oberen Bild (6 = 0.5) zu c = 3.5 weist beiσ≈ 0.2 Knickstellen auf. Sie sind Artefakte des verwendeten Graphikprogrammes und existieren in Wirklichkeit nicht.
Vgl. Merton (1973), S. 175.
Longstaff (1990)
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Burkhardt, T. (1994). Eigenschaften des Wertes der europäischen DO-Kaufoption bei exponentieller Ruinschranke. In: Down-and-Out Optionen. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-95429-9_7
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-95429-9_7
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