Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Mannigfaltigkeiten spielen eine wichtige Rolle in der modernen Mathematik und ihren Anwendungen in den Naturwissenschaften, z.B. in der modernen Physik. Die einfachsten Beispiele für Mannigfaltigkeiten sind glatte Kurven bzw. glatte Flächen, die in jedem Punkt eine Tangente bzw. eine Tangentialebene besitzen. Abb. 15.1 zeigt zwei Kurven, die eindimensionale Mannigfaltigkeiten darstellen. Im Gegensatz dazu findet man in Abb. 15.2 zwei Kurven, die keine Mannigfaltigkeiten im Sinne unserer weiter unten gegebenen Definition sind. Die Kurve in Abb. 15.2a) besitzt im Punkt P keine Tangente, während die Kurve in Abb. 15.2b) wegen der Selbstüberschneidung im Punkt Q dort keine eindeutig bestimmte Tangente hat.

Sein Geist drang in die tiefsten Geheimnisse der Zahl, des Raumes und der Natur; er maß den Lauf der Gestirne, die Gestalt und die Kräfte der Erde; die Entwicklung der mathematischen Wissenschaft eines kommenden Jahrhunderts trug er in sich.

(Unter dem Bild von Carl Friedrich Gauß (1777–1855) im Deutschen Museum in München)

Zu oft wird in der Physik der Zustandsraum als ein linearer Raum gewählt, obwohl die nichtlineare Struktur des Problems in natürlicher Weise auf eine Mannigfaltigkeit als Zustandsraum führt. Das erschwert die mathematische Behandlung ¹⁾.

Stephen Smale (1980)