Das Rechnen mit Matrizen

Zusammenfassung

Beim Rechnen mit Matrizen gehen wir normalerweise nicht auf die Bitebene zurück sondern benutzen die arithmetischen Operationen als Elementaroperationen. Arithmetische Schaltkreise über der eingeschränkten Basis {+, -, *} sind geeigneter als arithmetische Schaltkreise, die auch Divisionen erlauben. Im allgemeinen Fall stammen nämlich die Matrixelemente aus kommutativen Ringen mit Einselement, so daß Divisionen a/b auch für b ≠ 0 nicht immer durchführbar sind. In diesem ersten Abschnitt zeigen wir, daß die Addition von Matrizen und die Multiplikation mit Skalaren keine Probleme bereiten. Die Schulmethode für die Multiplikation zweier Matrizen wird sich als nicht optimal erweisen. In Kap. 6.2 und 6.3 behandeln wir die Berechnung der Determinante und des charakteristischen Polynoms einer Matrix. Effiziente Algorithmen für diese Probleme dienen u.a. auch der effizienten Berechnung der Inversen einer Matrix. In Kap. 6.2 diskutieren wir das Gaußsche Eliminationsverfahren, das als Schulmethode für die Determinantenberechnung gelten kann. Diese Methode kommt zwar mit recht wenigen Rechenoperationen aus, sie benutzt allerdings Divisionen sowie if-Tests und läßt sich nicht effizient parallelisieren. Daher stellen wir in Kap. 6.3 einen effizienten parallelen Algorithmus zur Berechnung der Determinante und des charakteristischen Polynoms vor.