Zusammenfassung
Die Bestimmung des optimalen Produktionsprogramms — also der optimal herzustellenden Produktarten und -mengen — ist für Mehrproduktartenunternehmungen für alle Produktarten simultan durchzuführen, sofern die Produktarten um knappe Ressourcen konkurrieren. Wird dagegen jede Produktart unabhängig von den anderen erzeugt, das heißt werden beispielsweise jeweils unterschiedliche Betriebsmittel und anderes Personal eingesetzt und stehen weitere Kapazitäten (wie Lagerraum, Finanzmittel, logistische und administrative Kapazitäten1) ausreichend oder jeweils exklusiv für die Erzeugung der einzelnen Produktarten zur Verfügung, so kann die Bestimmung der optimalen Produktionsmengen auf die in Abschnitt 2. dargelegte Weise erfolgen. Aufgrund von in der Praxis häufig gegebenen terminlichen Restriktionen kann in der Regel — selbst bei temporärer Unterbeschäftigung — davon ausgegangen werden, daß zumindest zeitweise Engpässe auftreten. Die Konkurrenz der zu erzeugenden Produktarten kann in einem operativen Produktionsprogrammplanungsmodell abgebildet werden.
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Referenzen
Die bei Bogaschhewsky (1993) genannten relevanten Restriktionen zur Berücksichtigung praxisnaher Gegebenheiten in der Bestell- und Liefermengenplanung lassen sich hier auf eine allgemeinere Problematik übertragen.
Wittmann (1960, S. 6) betont, daß eine “Überleitung” der Linearen Programmierung in die traditionelle Produktionstheorie — das heißt in Produktionsfunktionen — aufgrund der notwendigerweise großen Häufung von Prozeßpunkten, der realistischen Grundkonzeption dieser Methode widerspricht.
Auf stückweise lineare Funktionen und die in diesem Zusammenhang eventuell relevant werdende separable Optimierung wird unten noch näher eingegangen.
Zur separablen Optimierung und den dort eingesetzten Vorgehensweisen vgl. u.a. Domschke/Drexl (1991, S. 182ff.); Dürr/Kleibohm (1983, S. 266ff.); Hadley (1965, S. 104ff.); Simmons (1975, S. 280ff.). Die Idee, abschnittsweise lineare Funktionen als Approximation nichtlinearer Funktionen zu nutzen, um den Einsatz eines effizienten LP-Verfahrens wie der Simplex-Methode zu ermöglichen, geht auf Charnes/Lemke (1954) zurück und wurde von Dantzig (1963) sowie Miller (1963) weiterentwickelt (vgl. Hadley 1965, S. 297). Einen weiteren Ansatz stellt Müller-Merbach (1970) vor.
Zur Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung vgl. u.a. Isermann (1989, S 420ff.).
Interdependenzen beispielsweise zur Absatz- und 13eschaffungsplanung (vgl. Knolmayer 1980, S. 84) sind hier nicht Gegenstand der Betrachtung; diese spielen jedoch im Rahmen von übergreifenden Produktionsplanungsmodellen (siehe hierzu u.a. Kistner/Switalski 1989; Kistner/Steven 1989) eine gewichtige Rolle.
Diese Fragestellungen stehen in Zusammenhang mit Annahmen u.a. über logistische und technische Gegebenheiten. So kann differenziert werden zwischen einer ‘offenen’ Fertigung, bei der produzierte Einheiten von Losen direkt in der nächsten Fertigungsstufe weiterbearbeitet werden können, und einer ‘geschlossenen’ Fertigung, bei der der jeweils nächsten Fertigungsstufe nur ganze Lose bereitgestellt werden können. Siehe hierzu insbesondere Adam (1965; 1990, S. 849ff.); Bloech et al. (1993, S. 250ff.).
Die Fertigungslosgröße ist insbesondere dann für die Entstehung von Lagerhaltungskosten von Bedeutung, wenn eine ‘geschlossene’ Fertigung vorliegt, wenn vor der Weiterbearbeitung auf der Folgestufe Wartezeiten auftreten, da sich eine Warteschlange mehrerer Aufträge gebildet hat, wenn die Folgestufe mit einer geringeren Intensität arbeitet (‘Staulager’), so daß sich auch ohne Existenz einer aus mehreren Losen bestehenden Warteschlange ein Zwischenlager aufbaut, oder wenn die aktuelle Stufe langsamer arbeitet (‘Zerreißlager’), so daß zur Vermeidung zu hoher Rüstkosten erst eine Mindestmenge vor Inbetriebnahme der Folgestufe aufgebaut werden muß (siehe auch Bloech et al. (1993, S. 250ff.)).
Beispielsweise fallen logistische Kosten aufgrund des mehrstufigen 1lerstellungsprozesses an, die sich nicht eindeutig einer Fertigungsstufe zurechnen lassen und somit in den kostentheoretischen Betrachtungen des Abschnitts 1.3.3., die sich lediglich jeweils an einer Stufe orientierten, vernachlässigt wurden.
Die angenommene Konstanz der Grenzkosten bei Nutzung einer gegebenen Leistungsschaltung berücksichtigt somit nicht die von Pack (1963, S. 12ff.., 1966, S. 190ff.) aufgezeigte Möglichkeit, daß die Kostensätze sowohl von der genutzten Intensität als auch von der Länge des Zeitraums, in dem mit dieser Leistung gearbeitet wird, abhängen können. Hier soll Heinen (1965, S. 288), dessen Auffassung sich auch Kilger (1973, S. 236) anschließt, gefolgt werden, der die Berücksichtigung einer “Durchschnittsbelastung” für Aggregate als in vielen praktischen Fällen ausreichend ansieht. Inwiefern sich die Nutzung unterschiedlich hoher Intensitäten auf die verfügbare Betriebsdauer des Aggregates im Planungszeitraum auswirken kann, wird unten noch angesprochen.
Die hier erwähnte subjektive Zufriedenheit mit der Abbildungsgenauigkeit nichtlinearer Strukturen durch lineare Approximationen sollte nicht zu dem Schluß verleiten, daß der erforderliche Exaktheitsgrad immer ex ante “gefühlsmäßig” bestimmt werden könnte. Die Auswirkungen einer Linearisierung lassen sich im Detail erst durch den Vergleich der Optimallösung bei Einsatz eines geeigneten nichtlinearen Optimierungsverfahrens mit der durch ein LP-Verfahren erzielten Lösung feststellen.
Mit dieser Aussage soll jedoch nicht Albach (1962b, S. 64) gefolgt werden, der die Möglichkeit eines vorteilhaften Intensitätssplittings vernachlässigt und immer eine Linearkombination der im LP-Ansatz für eine Fertigungsstufe einer Produktart ermittelten Intensitäten als Approximation für die — seines Erachtens eindeutig definierte — optimale Leistung ansieht (siehe auch Kilger 1973, S. 250f.).
Zwar würden mit einem Intensitätssplitting geringere Kosten verbunden sein, jedoch kann aufgrund der verbleibenden Restkapazität auf dem/den Aggregat(en) die produzierbare Menge der Produktart so gering sein, daß die Nutzung einer solchen “Zwischenleistung” optimal wäre. Denn die Kosten bei Nutzung der höheren Splittingleistung sind höher, womit sich trotz geringerer Kapazitätsbeanspruchung ein niedrigerer zusätzlicher Deckungsbeitrag ergeben kann. Die Nutzung der niedrigeren Splittingleistung kann dagegen aus Kapazitätsgründen unvorteilhaft sein.
Dies schlägt Jacob (1962, S. 249) im Rahmen eines Beispiels vor.
Die maximale Betriebsdauer des Aggregats ist insbesondere dann abhängig von der erzeugten Produktart und der Fertigungsstufe, wenn eine Beziehung zwischen dem erzeugten Produkt und der realisierten Betriebsdauer vorliegt, beispielsweise aufgrund von Verschleiß, Wartungshäufigkeit und -dauer oder aufgrund temperaturabhängiger Abkühlungszeiten. Des weiteren kann die Betriebsdauer von der eingestellten Leistung — also dem gewählten Prozeß — abhängig sein.
Zur Instandhaltungsplanung vgl. u.a Corsten (1990, S. 280ff.); Herzig (1979, Sp. 814ff.); Lücke (1991, S. 135f.).
Ein Instandhaltungszeitpunkt im Sinne des Beginns der Wartungsarbeiten oder des Starttermins für eine Abkühlungs- oder “Erholungsphase” des Aggregats ist dann als adäquat zu bezeichnen, wenn eine weitere Fertigung ohne eine Instandsetzung mehr Kosten aufgrund höherer Produktionsfehlerzahlen, zusätzlichem — gegebenenfalls irreversiblen — Maschinenverschleiß sowie zu erwartenden zukünftigen Maschinenausfällen etc. verursacht als Kosten durch die aktuelle Produktionsunterbrechung und die Wartung entstehen. Dabei sind die entgangenen Deckungsbeiträge als Opportunitätskosten zu berücksichtigen.
Hierbei ist natürlich die Ausfallwahrscheinlichkeit von Maschinen zu berücksichtigen, was jedoch bei kurzfristig orientierten Planungsmodellen und/oder relativ wartungsarmen Aggregaten kaum eine Rolle spielen bzw. sich lediglich auf die Sicherheitsbestands- und/oder -zeitplanung auswirken dürfte.
Zu dem im folgenden beschriebenen Modell siehe auch JncoB3 (1962, S. 247ff.), der ein ähnliches Modell mit den Fertigungszeiten als Problemvariable formuliert. Siehe auch die Ausführungen auf der Basis technischer Verbrauchsfunktionen von Albach (1962b) sowie die sich an Albach und Jacob anlehnenden Darstellungen bei Kilger (1973, S. 247ff.) und Adam (1993, S. 84ff.). Da sich im folgenden für einige Summationen keine untere und obere Grenze angeben läßt — zum Beispiel müssen nicht alle Produktarten auf allen Aggregaten bearbeitet werden — soll aus Gründen der einheitlichen Formulierungsweise auch für solche Summationen, bei denen diese Angaben möglich wären, lediglich über die Indexmenge summiert werden.
Dies gilt nicht nur für den Vergleich nationaler Standorte, bei denen zwischen den Bundesländern durchaus unterschiedliche Vorschriften gelten können, sondern insbesondere bei der Berücksichtigung von Standorten im Ausland, die im Vergleich zu Deutschland in der Regel deutlich geringere Umweltschutzanforderungen aufweisen.
Eine Interdependenz der genannten Planungen ist u.a. gegeben, weil Losgrößen und Bearbeitungsreihenfolgen die (mittleren) Durchlaufzeiten sowie die mögliche Kapazitätsnutzung und damit auch die entstehenden Kosten beeinflussen. Sowohl die Kosten als auch die Kapazitäten gehen als Parameter in die Programmplanung ein.
Eine stufenweise oder sukzessive Produktionsplanung und -steuerung (PPS) herrscht in der Praxis vor, da die Konstruktion und Optimierung von Simultanmodellen Iür reale Problemstellungen in der Regel zu aufwendig sind. Computergestützte PPS-Systeme unterstützen ebenfalls nur eine stufenweise Vorgehensweise. Siehe hierzu u.a. Bloech et al. (1993, S. 298ff.).
Die Zusammenfassung aller Umweltnutzungsarten zu einer aggregierten Größe — wie sie beispielsweise Kals (1993, S. 190ff.) anstrebt — erscheint dagegen im Rahmen eines Produktionsprogrammplanungsmodells wenig realistisch, da zum einen die Umrechnung verschiedener Nutzungsarten auf eine aggregierte Größe auf große Schwierigkeiten stoßen dürfte. Zum anderen ist davon auszugehen, daß Restriktionen zum Beispiel für einige Schadstoffgruppen definiert werden, nicht jedoch gleichzeitig für gegebenenfalls völlig unterschiedliche Schadstoffarten, Abfallmengen, Lärmentstehung etc.
Diese Tendenzaussage ist vor dem Hintergrund zu sehen, daß die optimal herzustellenden Produktarten und — mengen von den relativen Stückdeckungsbeiträgen in bezug auf alle Restriktionen bzw. Engpässe abhängen.
Bei diesen Ansätzen wurde zwar nicht auf die hier diskutierten zeitlich-intensitätsmäßigen und quantitativen Anpassungsmöglichkeiten eingegangen, jedoch würden sich für die Art und Weise, wie Recycling in der Produktionsprogrammplanung zu berücksichtigen wäre, bei dem hier vorgestellten Modell keine grundsätzlich neuen Erkenntnisse ergeben.
Für eine detailliertere Beschreibung der Sensitivitätsanalyse vgl. u.a. Domschke/Drexl (1991, S. 41ff.); Dürr/ Kleibohm (1983, S. 82ff.); Ellinger (1990, S. 89ff.); Neumann/Morlock)1993, S. 1 18ff.).
Zur Simplexmethode sowie der damit verbundenen Theorie vgl. u.a. Bloech (1974, S. 47ff.); Domschke/ Drexl (1991, S. 18ff.); Dürr/Kleibohm (1983, S. 40ff.); Neumann/Morlock (1993, S. 52ff.).
Werden die Ausgangsdaten in Abhängigkeit von Paramtern variiert, so daß hierduch neue Ecklösungen entstehen können, spricht man auch von parametrischer Optimierung (vgl. Neumann/Morlock 1993, S. 119) oder auch parametrischer Sensitivitätsanalyse (vgl. Domschke/Drexl 1991, S. 41). Siehe hierzu auch insbesondere Dinkelbach (1969).
Zur stochastischen linearen Programmierung vgl. u.a. Charnes/Cooper (1960); Dinkelbach (1976); Faber (1970); Kall (1976); Rembold (1977); Werner (1973).
Aufgrund der in der Realität vorhandenen Unsicherheit bezüglich zukünftiger Entwicklungen stellen im Grunde auch alle Koeffizienten “deterministischer” linearer Programme lediglich Erwartungswerte dar.
Zur konvexen Programmierung vgl. u.a. Domschke/Drexl (1991, S. 175ff.); Neumann/Morlock (1993, S. 545ff.).
Zur separablen Optimierung vgl. u.a. Bloech/Müller (1983, S. 108ff.); Domschke/Drexl (1991, S. 182ff.); Dürr/Kleibohm (1983, S. 263ff.); Neumann/Morlock (1993, S. 582ff.).
Das Bestreben, neben der Optimierung der ursprünglichen Zielfunktion beim Chance-Constrained Programming die Wahrscheinlichkeit der Restriktionseinhaltung zu maximieren bzw. beim ZweistufenAnsatz die Strafkosten zu minimieren, kann als Mehrfachzielsetzung aufgefaßt werden (vgl. Dürr/Kleibohm 1983, S. 283).
Die prinzipielle Abbildbarkeit und Lösbarkeit von Produktionsplanungsproblemen unter Einbeziehung von Beschränkungen der Schadstoffemissionen mittels der stochastischen linearen Programmierung zeigen Kistner/Steven (1991) auf.
Für eine detaillierte Beschreibung von Einsatzmöglichkeiten und zur Vorgehensweise der Simulation vgl. u.a. Biethahn (1978); Domschke/Drexl (1991, S. 198ff.); Ferstl (1979); Krüger (1975); Mandl (1977); Mertens (1982).
Es steht außer Frage, daß die betriebliche Kostenrechnung ebenfalls Unsicherheiten unterliegt, sofern diese Planungsdaten zu Verfügung stellen soll und nicht lediglich ex-post Analysen dient. Eine unterstellte Exaktheit von kostenrechnerischen Daten kann somit bestenfalls vergangenheitsbezogen konstatiert werden, während es sich bei Plandaten um fundierte Schätzungen auf der Basis von Vergangenheitswerten und aktuellen Daten handelt.
Intrinsische Unschärfe umfaßt somit ungenaue Begriffsdefinitionen. Bei informationaler Unschärfe ist der jeweilige Begriff zwar unter Umständen exakt definiert, die Menge der Objekte, die diesem Begriff zugeordnet werden können, läßt sich jedoch nicht klar abgrenzen (vgl. Zimmermann 1991, S. 4; Rommelfanger 1988, S. 4f.; Rabetge 1991, S. 5).
Die Einhaltung des “Standes der Technik” wird häufig bei der behördlichen Zulassung umweltbelastender Produktionsverfahren sowie bei der Nachrüstung von Altanlagen mit Umweltschutzeinrichtungen gefordert (siehe hierzu Wicke 1991, S. 170ff. u. S. 323ff.).
Die ‘Fuzzy Set Theory’ wurde von Zadeh (1965) begründet. Sie kann als Verallgemeinerung der klassischen Mengenlehre und der zweiwertigen Logik aufgefaßt werden (vgl. Zimmermann 1993, S. 91). Vorläufer dieser Theorie können in Unschärfebetrachtungen in der Linguistik sowie in der Physik gesehen werden. Eine mehrwertige Logik wurde bereits zu Beginn dieses Jahrhunderts von Lukasiewicz und eine mathematische Axiomatik zur Berücksichtigung von Unschärfe von Weyi, entwickelt (vgl. Ostasiewicz 1992).
Für eine Beschreibung des Einsatzes der Fuzzy Set-Theorie in linearen Optimierungsmodellen vgl. u.a. Brunner (1993, S. 44ff.); Buscher/Roland (1992; 1993); Rommelfanger (1988, S. 162ff.); Sommer (1978); Wolf (1988a; 1988b); Zimmermann (1978).
Der Lösungsaufwand für deterministische lineare Optimierungsmodelle ist bei größeren Problemstellungen durchaus als groß anzusehen. Bei der obigen Aussage steht somit eher die Beurteilung des Zusatzaufwandes aufgrund der Einbeziehung der Unsicherheit bzw. Unschärfe und mehrerer Zielsetzungen im Vordergrund.
Siehe hierzu Cantor (1895).
Die Zugehörigkeitsfunktion (englisch: membership function) wird auch als ‘charakteristische Funktion’ oder ‘Kompatibilitätsfunktion’ bezeichnet (vgl. Rommelfanger 1988, S. 8).
Zu den Definitionen in diesem Unterabschnitt vgl. Rommelfanger (1988, S. 7ff.) sowie Brunner (1993, S. 47); insbesondere Rabetge (1991, S. 9ff.).
Das Kürzel ‘hgt’ für die Höhe einer unscharfen Menge basiert auf dem englichen Wort ‘height’.
Zur exakten Definition des Supremums (kleinste obere Schranke) vgl. u.a. Forster (1983, S. 54).
Es ist darauf hinzuweisen, daß der Begriff der unscharfen Zahlen in der Literatur uneinheitlich definiert wird (vgl. Rabetge 1991, S. 29 und die dort hierzu angegebene Literatur).
Die folgenden Definitionen basieren auf Brunner (1993, S. 48f.); Rabetge (1991, S. 10ff.); Rommelfanger (1988, S. 16ff.).
Siehe hierzu auch die Ergebnisse der Untersuchungen von Rödder (1975); Thole/Zimmermann/Zysno (1979) und Zimmermann/Zysno (1980).
Da das algebraische Produkt bei scharfen Mengen nicht der Schnittmenge (englisch: intersection) entspricht, verwenden Bellman/Zadeh (1970) den Begriff “Zusammenfluß” (englisch: confluence).
Zur Definition der genannten Operatoren vgl. auch Brunner (1993, S. 62ff.); Rommelfanger (1988, S. 26f.).
Siehe hierzu die Ergebnisse von Rommelfanger/Unterharnscheidt (1987) sowie von Zimmermann/Zysno (1980).
Der Vorschlag von Zimmermann/Zysno (1980, S. 47), empirische Vortests zur adäquaten Bestimmung von Kompensationsgraden durchzuführen, dürfte den Aufwand bei der Lösungsfindung gegebenenfalls erheblich erhöhen und die Handhabbarkeit und Flexibilität deutlich einschränken (vgl. auch Brunner 1993. S. 65).
Siehe hierzu die tabellarische Gegenüberstellung unterschiedlicher Operatoren und dem aus ihrer Verwendung resultierenden Modelltyp sowie den jeweiligen Kompensationsmöglichkeiten bei Brunner (1993, S. 66).
Insbesondere die Gesetze der Kommutativität, der Assoziativität, der Adjunktivität, der Distributivität, der Involution sowie die Gesetze von Demorgan (vgl. Rommelfanger 1988, S. 19).
Zu entsprechenden Axiomensystemen vgl. Bellman/Giertz (1973); Fung/Fu (1975); Zimmermann (1991).
Das System FLOP stellt zu diesem Zweck eine Reihe weiterer Funktionen wie einen Modelleditor, die automatische Generierung stückweise linearer Zugehörigkeitsfunktionen auf der Basis vorgegebener Stützstellen und gegebenenfalls Transformation in konkave Verlaufsformen, eine grafische Darstellung von (Zwischen-)Lösungen, eine Lösungskomponente auf der Basis der kombinierten Simplexmethode sowie eine Sensitivitatsanalyse zu Verüügung (vgl. Brunner 1993, S. 1 17ff.).
Zur Definition der Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie zu erweiterten Operatoren wie die Bestimmung des Maximums und des Minimums zweier unscharfer Zahlenmengen vgl. Rommelfanger (1988, S. 33ff.) sowie Rabetge (1991, S. 31 ff.). Siehe auch die Beispielrechnungen zur Verdeutlichung des Erweiterungsprinzips bei Rabetge (1991, S. 14ff.).
Die Definition basiert auf Dubois/Prade (1980, S. 36f.) sowie Zimmermann (1985, S. 47ff.); siehe auch Brunner (1993, S. 51); Rabetge (1991, S. 13); Wolf (1988a, S. 88). Der in der folgenden Definition verwendete Minimum-Operator ist nicht unumstritten. So schlagen Dubois/Prade (1980, S. 38) den Einsatz des algebraischen Produkts vor und Jain (1976) fordert eine algebraische Summenbildung anstelle des Supremums als Auswahlkriterium (vgl. Rommelfanger 1988, S. 34).
Dieser Tatsache wird in vielen fuzzy Optimierungsansätzen nicht in ausreichendem Maße Rechnung getragen, sondern es wird implizit vom Vorhandensein geeigneter Zugehörigkeitsfunktionen ausgegangen (siehe zur Kritik hieran Jain 1980, S. 131; Zeleny 1984, S. 302f.). So konstatiert ScHwAn3 (1983, S. 22f.), daß geeignetere Zugehörigkeitsfunktionen zu vollständig anderen — besseren — Lösungen führen können.
Siehe beispielsweise die exemplarischen Zugehörigkeitsfunktionen bei Wolf (1988a, S. 23f.).
Bei entsprechender Parameterwahl kann das 0- und das 1-Niveau zwar erreicht werden, allerdings schränkt dies die Wahlfreiheit in bezug auf diesen Parameter erheblich ein (vgl. Rommelfanger 1988, S. 172).
Siehe auch die Argumentation für stückweise lineare Zugehörigkeitsfunktionen bei Hannan (1981, S. 240f.); Nakamura (1984, S. 228); Rommelfanger (1988, S. 173). Für eine tabellarische Gegenüberstellung verschiedener Zugehörigkeitsfunktionstypen und ihrer Eigenschaften siehe Brunner (1993, S. 73).
Eine solche Anpassung von Problemstrukturen an die obige Formulierungsweise kann beispielsweise durch Transformation von ‘≥’ ‘Bedingungen in ’≤’ -Bedingungen durch Multiplikation der jeweiligen Ungleichung mit ‘-1’ erfolgen. Eine zu minimierende Zielfunktion kann durch Multiplikation mit ‘-1’ in eine zu maximierende Zielfunktion umgewandelt werden. Siehe hierzu u.a Bloech (1974); Ellinger (1990); Kistner (1988).
Zu nicht-symmetrischen Verfahren vgl. Orlovski (1977;1985); Tanaka/Ichihashi/Asai (1985).
Siehe hierzu auch die bei Daub (1993, S. 257ff.) beschriebenen Probleme, die bei fuzzy Modellen zur Ablaufplanung auftreten.
Über die Voraussetzung von Spezialkenntnissen des Operations Research hinaus erfordert die Definition problemgerechter und effizient lösbarer Optimierungsmodelle in der Regel Kreativität, Intuition und “Fingerspitzengefühl” (vgl. Knolmayer 1980, S. 21). Zur vergleichenden Gegenüberstellung der Vorteilhaftigkeit unterschiedlicher Modellformulierungen siehe Knolmayer (1980).
Zwar wird in der Diskussion weiterhin von linear-limitationalen Prozessen ausgegangen, wodurch eine Substitutionalität von Einsatzfaktoren nicht direkt gegeben ist. Allerdings kann durch die Definition und Nutzung unterschiedlicher Prozesse, die unter Umständen verschiedene Einsatzfaktoren voraussetzen, auch im Rahmen linearer Produktionsprogrammplanungsmodelle der Einsatz von unterschiedlichen Stoffen für den gleichen Produktionszweck abgebildet werden.
Ökonomische, technische und soziale Ziele nennt beispielsweise auch Tabucanon (1988, S. 2). Zu einer Übersicht unternehmerischer Ziele siehe u.a. Steuer (1989, S. 2f.).
Zur Unterteilung des ‘Muliple Criteria Decision Making’ in das ‘Muliple Attribute Decision Making’ und das ‘Muliple Objective Decision Making’ vgl. Hwang/Yoon (1981).
Die Tschebyscheff-Norm wird beispielsweise in dem von Murtagh/Saunders (1980) entwickelten System MINOS sowie in der von SAS (1985) konstruierten Software verwendet (vgl. Brunner 1993, S. 98).
Eine entsprechende Einteilung in ‘a priori-’, ‘a posteriori-’ und ‘progressiver Artikulation von Präferenzen’ nehmen auch Hwang/Masud (1979) vor (vgl. Brunner 1993, S. 98).
Eine Diskussion und Beurteilung in Frage kommender Verfahren findet sich bei Brunner (1993, S. 98ff.).
Zur Vermeidung einer zusätzlichen Indizierung wird angenommen, daß der Parameter θ für jede Restriktion und jeden Restriktionstyp denselben Wert annimmt.
Die Durchführung arithmetischer Operationen — wie sie im Rahmen einer Optimierung erforderlich sind — kann bei Ansätzen, die nicht auf dem Erweiterungsprinzip basieren, mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden sein. Werden andere Operatoren als der hier unterstellte Minimum-Operator verwendet, so erweist sich auch die Anwendung des Erweiterungsprinzips als recht schwierig und aufwendig, wie der von Dubois/Prade (1979, S. 333ff.) für diesen Fall entwickelte Algorithmus zeigt (vgl. Wolf 1988a, S. 132). Auf die Probleme beim Anstellen von Vergleichen wird in Abschnitt 3.5.5.2 noch eingegangen.
Beispielsweise hängt die Ausbeute bei Einsatz einer bestimmten Faktormengenkombination in der chemischen Fertigung häufig u.a. von den weiteren Prozeßparametern Wärme, Druck etc. ab. Dabei können nicht immer die Prozeßparameter so exakt eingestellt werden — sofern die Zusammenhänge überhaupt exakt bekannt sind -, daß eine gegebene Ausbringungsmenge und insbesondere eine gewünschte Qualität erreicht wird.
Hier wie im folgenden bedeutet die Definition unscharfer Koeffizienten, daß es sich um unscharfe Größen handeln kann, aber nicht muß. Diese Formulierung ist daher zulässig, da — wie oben erwähnt wurde — die Fuzzy Logik die zweiwertige Logik mit abdeckt. Im konkreten Fall würde ein deterministischer Wert eine Zugehörigkeitsfunktion aufweisen, die nur aus dem Modalwert besteht.
Zur Definition derartiger Mehrzieloptimierungsmodelle sowie ihrer — im folgenden dargestellten Transformation in lineare Modelle — siehe u.a. Brunner (1993, S. 76ff.); Buscher/Roland (1992, S. 43ff.; 1993, S. 314ff.); Rommelfanger (1988, S. 186ff.); Wolf (1988a, S. 33ff.).
Die Transformation von fuzzy Optimierungsproblemen in lineare Modelle bei Vorliegen linearer Zugehörigkeitsfunktionen und Verwendung des Minimum-Operators geht auf Zimmermann (1976) zurück. Nach Negoita/Sularia (1976, S. 6) gilt allgemein, daß bei Verwendung des Minimum-Operators Probleme mit unscharfen Restriktionen grundsätzlich über ein transformiertes Modell, wie es im folgenden dargestellt wird, gelöst werden können. Für den allgemeinen Fall ist darauf zu achten, daß die Variable σ zwischen den Werten Null und Eins liegen muß.
An dieser Stelle sei daran erinnert, daß θ für jede Restriktion einen anderen Wert annehmen könnte, hier jedoch aus Gründen der übersichtlicheren Schreibweise konstant gesetzt wurde.
Diese allgemeineren Ansätze erweisen sich für den Einsatz im Rahmen von Optimierungsmodellen als zu aufwendig (vgl. Brunner 1993, S. 83). Eine Übersicht und Beurteilung einiger Ansätze findet sich bei Dubois/Prade (1983); Rommelfanger (1986, S. 219ff.); Zimmermann (1987, S. 135ff.).
Siehe hierzu auch Brunner (1993, S. 83ff.); Wolf (1988a, S. 114ff.; 1988b, S. 955f.).
Eine solche Vorgehensweise wird in Tanaka/Asai (1984, S. 1 ff.) sowie in Tanaka/Ichihashi/Asai (1984, S. 185ff.) vorgeschlagen. Als zusätzlicher Nachteil erweist sich bei diesem Ansatz, daß von einer extrem pessimistischen Einstellung des Entscheidungsträgers ausgegangen wird, da ausschließlich der ungünstigste Vergleichswert ausschlaggebend ist (vgl. Wolf 1988b, S. 955).
Eine solche Vorgehensweise schlägt Slowinski (1986; 1987) vor, der die zu definierende Untergrenze des Betrachtungsintervalls als “Pessimismus-Index” und die obere Grenze als “Glaubwürdigkeitsniveau” bezeichnet (vgl. Wolf 1988b, S. 955).
Diese Aussage wird durch empirische Ergebnisse von Rommelfanger (1986, S. 226f.) gestützt.
Eine solche Vorgehensweise schlagen Ramik/Rimanek (1985) sowie Delgado/Verdegay/Vila (1990) vor. Dabei geht die Idee, unscharfe Mengen auf der Basis verschiedener Zugehörigkeitsniveaus zu repräsentieren, auf Orlovski (1977) zurück.
Die α-Niveaumenge kennzeichnet die scharfe Menge, deren Zugehörigkeitswerte größer oder gleich dem Wert α sind (vgl. Abschnitt 3.4.2.1).
Erwähnt sei hier noch der alternative Ansatz von Rommefanger (1988, S. 236f.; 1990, S. 284f.), der neben der Definition einer scharfen Restriktion auf einem ausgewählten niedrigen Niveau zwecks Anstellen eines “gesicherten” Vergleichs eine weitere Zielfunktion einführt, die die Erreichung einer höheren Validität des angestellten Vergleichs verfolgt (vgl. Brunner 1993, S. 85).
Die Verwendung eines nicht-symmetrischen Ansatzes bringt u.a. den Nachteil mit sich, daß prinzipiell unendlich viele Zielfunktionen zu berücksichtigen wären (vgl. Hanuschek/Rommelfanger 1987, S. 589). Zu möglichen Vorgehensweisen bei Verfolgen nicht-symmetrischer Ansätze siehe beispielsweise die bei Brunner (1993, S. 85ff.) skizzierten Ansätze von Tanaka/Ichihashi/Asai (1984), die sich das HurwiczKriterium (vgl. Lücke 1991, S. 127) zunutze machen, und von Delgado/Verdegay/Vila (1990) bzw. die hierzu ähnliche Vorgehensweise von Carlsson/Korhonen (1986).
Die α-niveaubezogene Paarbildung erlaubt lediglich die Verfolgung eines unscharf formulierten Zieles (vgl. Rommelfanger 1988, S. 259).
Es ist nicht generell auszuschließen, daß der Entscheidungsträger auch Werten, die unterhalb der ermittelten, minimalen Lösungswerte liegen, einen Zufriedenheitswert zuordnet, der (geringfügig) größer als Null ist. Insofern hat diese Vorgehensweise einen gewissen heuristischen Charakter (vgl. Brunner 1993, S. 88).
Zwecks Erreichung einer höheren Übersichtlichkeit wurden hier die Nebenbedingungen in bezug auf die Restriktionen ohne explizite Aufführung ihrer spezifischen Zugehörigkeitsfunktionen formuliert.
Auf weitere, alternative Vorgehensweisen wie den von Sakawa (1983) bzw. Sakawa/Yano (1990) vorgeschlagenen Ansatz soll hier nicht näher eingegangen werden, da diese für die vorliegende Problemstellung nicht geeignet erscheinen (siehe hierzu auch Brunner 1993, S. 88f. sowie Rommelfanger 1988, S. 269ff.).
Wolf (1988a, S. 125; 1988b, S. 958) empfiehlt eine Voroptimierung mit einem Hilfsmodell, das lediglich das 1-Niveau umfaßt, wobei unklar bleibt, ob sich die Einschränkung auf das 1-Niveau ausschließlich auf die Zielfunktion oder auch auf die Restriktionen beziehen soll. Werden für die Restriktionen ebenfalls nur die 1-Niveaus betrachtet, so ist zu beachten, daß der sich ergebende Zielfunktionswert nicht zwangsläufig größer sein muß als bei Einbeziehung niedrigerer α-Niveaus.
Auf verschiedene Formen der Einbeziehung von Emissionskosten wird im Rahmen der vorzunehmenden Simulation in Abschnitt 3.6 noch eingegangen.
Ob der Erwerb von “Verschmutzungszertifikaten” als Investition anzusehen ist, hängt u.a. von der Gültigkeitsdauer der Zertifikate ab sowie von der verwendeten Definition des Begriffs ‘Investition’. Ist der Besitz von “Verschmutzungszertifikaten” für die Produktion Voraussetzung und geht das Verschmutzungsrecht nicht mit der aktuellen Fertigung wieder unter, so handelt es sich nach Ansicht des Verfassers zweifellos um eine (betriebszweckbezogene) Investition. Zu unterschiedlichen Abgrenzungen des Begriffs Investition siehe Lücke (1991, S. 151f.). In Abschnitt 3.6.3 wird dagegen unterstellt, daß sich die Zertifikate mit der Produktion “verbrauchen”, das heißt wertlos werden.
Die Höhe des Modalwertes beeinflußt zwar die Lösung, jedoch ist füir die anzustellenden Untersuchungen in bezug auf den erreichbaren Zufriedenheitsgrad lediglich wesentlich, daß von einer gegebenen Restriktionsuntergrenze ausgegangen wird.
So kann beispielsweise der Zielfunktionskoeffizient der ersten (zweiten) Produktart um 40% (16,67%) nach unten und um 20% (66,67%) nach oben verändert werden, ohne daß sich die Zusammensetzung der Mengenvariablen ändert. Für die Restriktionsgrenzen gilt, daß die Beschränkung in bezug auf die Materialverfügbarkeit um 20% nach oben und unten, der Entsorgungsgrenzwert um 37,5% nach unten und um 25% nach oben verlagert werden können.
Für die hier vorzunehmenden Betrachtungen ist die Definition und Lösung eines ganzzahligen Optimierungsproblems, das die Anzahl Zertifikate z als Variable enthält, nicht notwendig. Bei komplexeren Problemstellungen wäre dies dagegen erforderlich, da sich dann unter Umständen eine größere Zahl möglicher Lösungswerte für z ergibt — insbesondere, wenn für unterschiedliche Umweltnutzungsarten verschiedene Zertifikate zu erwerben sind.
Die Begriffe Brutto- und Nettogewinn werden hier problembezogen benutzt, das heißt die beiden Größen unterscheiden sich lediglich um die Zertifikatskosten, womit von weiteren Steuern etc. abstrahiert wird.
Im vorliegenden Fall entsprechen sich ohnehin der Gewinn vor und nach Abzug der Zertifikatskosten, da für die Optimallösung keine “Verschmutzungsrechte” erworben werden.
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Bogaschewsky, R. (1995). Berücksichtigung von Umweltnutzung in der operativen Produktionsprogrammplanung bei mehrstufiger Mehrproduktartenfertigung und Unsicherheit. In: Natürliche Umwelt und Produktion. Nbf Neue Betriebswirtschaftliche Forschung. Gabler Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-94434-4_7
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