Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Zusammenfassung

Ein Massenpunkt M mit Masse m sei an einer horizontalen Feder befestigt und liege auf einer ebenfalls horizontalen x-Achse. Bei ungespannter Feder befinde sich M im Nullpunkt (Gleichgewichtslage). Verschiebt man M, so übt die (ausgedehnte oder zusammengedrückte) Feder eine sogenannte Rückstellkraft K aus, die M in die Gleichgewichtslage zurückzutreiben sucht. Bei kleinen Auslenkungen x ist in guter Näherung $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaae4saiaab2 % dacaqGTaGaae4AaiaabIhaaaa!3A14! {\text{K = - kx}}$ mit einer positiven Federkonstanten oder Federsteifigkeit k (Hookesches Gesetz; so genannt nach dem englischen Physiker Robert Hooke (1635–1703; 68), einem Zeitgenossen Newtons). Befindet sich M zur Zeit t im Punkte x(t) und sehen wir von dämpfenden Reibungskräften ab, so gilt also nach dem Newtonschen Kraftgesetz (1.20)

$$ % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qacaWGTbGabmiEayaadaGaeyypa0JaeyOeI0Iaam4AaiaadIhaaaa!3BE6! m\ddot x = - kx $$

(14.1)

Ich kam unerwartet auf meine Lösung und hatte vorher keine Ahnung, daß die Lösung einer algebraischen Gleichung in dieser Sache so nützlich sein könnte.

Leonhard Euler

Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maitre à tous!

Pierre Simon Laplace