Qualitative Theorie. Stabilität

Zusammenfassung

Die bisher vorgeführte Theorie der nichtlinearen Differentialgleichungssysteme liefert schöne Einsichten — aber handliche Lösungsverfahren liefert sie nicht. Wenn man tatsächlich Lösungswerte benötigt, ist man in der Regel auf numerische Methoden angewiesen. Glücklicherweise genügt es aber in vielen Fällen, nur einige Auskünfte über das Lösungsverhalten zu erlangen — und diese kann man häufig ohne übermäßigen Aufwand dem System abgewinnen, ohne es (geschlossen oder numerisch) lösen zu müssen. Was mit einer solchen qualitativen Analyse gemeint ist, wollen wir an dem Lotka-Volterraschen Räuber-Beute-Modell (59.1) verdeutlichen, das wir diesmal in der Form

$$ % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeqabiqaaa % qaaabaaaaaaaaapeGabmiEayaacaGaeyypa0JaeyOeI0Iaamyya8aa % daWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacaWG4bGaey4kaSIaeqOSdi % 2damaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiaadIhacaWG5baapaqa % a8qaceWG5bGbaiaacqGH9aqpcaWGHbWdamaaBaaaleaapeGaaGOmaa % WdaeqaaOWdbiabgkHiTiabek7aI9aadaWgaaWcbaWdbiaaikdaa8aa % beaak8qacaWG4bGaamyEaaaadaqadaWdaeaapeGaamyya8aadaWgaa % WcbaWdbiaadUgaa8aabeaak8qacaGGSaGaeqOSdi2damaaBaaaleaa % peGaam4AaaWdaeqaaOWdbiaadchacaWGVbGaam4CaiaadMgacaWG0b % GaamyAaiaadAhacaWGLbGaam4saiaad+gacaWGUbGaam4CaiGacsha % caGGHbGaaiOBaiaadshacaWGLbGaamOBaaGaayjkaiaawMcaaaaa!6465! \begin{array}{*{20}c} {\dot x = - a_1 x + \beta _1 xy} \\ {\dot y = a_2 - \beta _2 xy} \\ \end{array} \left( {a_k ,\beta _k positiveKons\tan ten} \right) $$

(64.1)

schreiben. x (t) ist die Größe der Raubpopulation zur Zeit t≥0, y(t) die der Beutepopulation. Das System (64.1) ist bei vorgegebenen Anfangsbeständen x(0), y(0)> 0 auf [0, ∞) stets eindeutig lösbar (s. A 60.1) — aber nie in geschlossener Form; eben deshalb haben wir in der letzten Nummer hilfsweise eine Runge-Kutta-Approximation hergestellt.

La nature semble avoir disposé [le système solaire] primitivement pour une éternelle durée, par les mêmes vues qu’elle nous paraît suivre si admirablement sur la Terre, pour la conservation des individus et la perpétuité des espèces.

Pierre Simon de Laplace im Jahre 1802.

Les personnes qui s’interessent aux progrès de la Mécanique céleste... doivent éprouver quelque étonnement en voyant combien de fois on a démontré la stabilité du système solaire... L’étonnement de ces personnes redoublerait sans doute, si on leur disait qu’un jour peut-être un mathématicien fera voir... que le système planétaire est instable. Cela pourra arriver cependant.

Henri Poincaré im Jahre 1898.