Zusammenfassung
Unter „innerer Geometrie“ versteht man all diejenigen Eigenschaften einer Fläche, die nur von der ersten Fundamentalform abhängen. Populär ausgedrückt ist die innere Geometrie einer 2-dimensionalen Fläche diejenige, die von rein 2-dimensionalen Lebewesen (den sogenannten „Flachländern“ oder auch „Flächenländern“1) erkannt werden kann, ohne Kenntnis einer dritten Dimension. Längen und Winkel gehören sicher dazu. Es stellt sich dabei die Frage, welche sonstigen geometrischen Größen zur inneren Geometrie gehören, insbesondere auch, welche der betrachteten Krümmungsgrößen dazugehören. Einerseits ist es intuitiv klar, daß eine Verzerrung der Längen- und Winkelverhältnisse auch irgendeinen Einfluß auf die Krümmung haben kann. Andererseits ist keineswegs klar, ob und inwieweit die erste Fundamentalform ausreicht, um die Krümmung festzulegen.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
vgl. dazu Edwin A. Abbott, Fiatland — a romance of many dimensions, 1884, deutsche Übersetzung: Flächenland, Klett-Cotta, Stuttgart 1982
Heinrich Hertz postulierte, daß eine kräftefreie Bewegung in einer Fläche notwendig mit konstanter Geschwindigkeit und minimaler Krümmung erfolgen müsse, also mit verschwindender geodätischer Krümmung, weil die Normalkrümmung ja festliegt.
Dies gilt auch für Flächenstücke der Klasse C 2 mit anderem Beweis, s. Ph. Hartman, A. Wintner, On the fundamental equations of differential geometry, American Journal of Math. 72 (1950), 757–774.
nach F. Apéry, Models of the real projective plane, Vieweg 1987, S. 130
H. Hopf, Über die curvatura integra geschlossener Hyperflächen, Math. Annalen 95, 340–367 (1926),
vgl. D.H. Gottlieb, All the way with Gauss-Bonnet and the sociology of mathematics, Amer. Math. Monthly 103, 457–469 (1996)
nach T. Banchoff, N.H. Kuiper, Geometrical class and degree for surfaces in three-space, Journal of Differential Geometry 16, 559–576 (1981), Abschnitt 5
vgl. dazu als Übersichts-Artikel T. Banchoff, W. Kühnel, Tight submanifolds, smooth and polyhedral, in: Tight and taut submanifolds, MSRI Publ. 32, 51–118, Cambridge Univ. Press 1997
Kürzeste Wege und Totalkrümmung auf Flächen, Compositio Math. 2, 69–133 (1935)
siehe H. Karcher, Eingebettete Minimalflächen und ihre Riemannschen Flächen, Jahresbericht der Deutschen Math.-Vereinigung 101, 72–96 (1999)
Eine neue Eigenschaft der Kugel, Nachr. Akad. Göttingen, Math.-Phys. Klasse, 44–55 (1899)
reproduziert mit freundlicher Genehmigung von K. Grosse-Brauckmann und K. Polthier, für weitere Informationen siehe den Aufsatz „Numerical examples of compact constant mean curvature surfaces“, Elliptic and parabolic methods in geometry (B. Chow et al., eds.), Proceedings Minneapolis, MN 1994, 23–46, A.K.Peters 1996, vgl. auch http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/~konrad/articles.html
vgl. U. Abresch, Constant mean curvature tori in terms of elliptic functions, J. Reine und Angew. Math. 374, 169–192 (1987) sowie
R. Walter, Explicit examples to the H-problem of Heinz Hopf, Geometriae Dedicata 23, 187–213 (1987), beide Artikel mit Computer-Bildern. Diese erklären das recht komplizierte Innere des Wente-Torus.
reproduziert mit freundlicher Genehmigung von I. Sterling und U. Pinkall.
vgl. Beispiel 52.1 in E. Kreyszig, Differentialgeometrie, 2. Aufl., Akad. Verlagsges. 1968
Diese übernehmen die Rolle von „Geraden“in der Halbebene als Modell einer nicht-euklidischen Geometrie, vgl. I. Agricola, T. Friedrich, Elementare Geometrie, Kap.4., Vieweg 2005
vgl. K. Voss, Eine Bemerkung über die Totalkrümmung geschlossener Raumkurven, Archiv d. Math. 6, 259–263 (1955)
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 2005 Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
About this chapter
Cite this chapter
Kühnel, W. (2005). Die innere Geometrie von Flächen. In: Differentialgeometrie. Vieweg studium, Aufbaukurs Mathematik. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-93422-2_4
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-93422-2_4
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-8348-0023-7
Online ISBN: 978-3-322-93422-2
eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)