Die Lebesgueschen Räume L _p

Zusammenfassung

Das Produkt zweier integrierbarer Funktionen ist i.a. nicht integrierbar. Dieser offenbare Nachteil gibt Anlaß, für 0<p<∞den Raum ℒ_p derjenigen meßbaren Funktionen f zu untersuchen, für die ∣f∣^p integrierbar ist. Es wird sich zeigen, daß für diese Funktionen einige sehr nützliche Ungleichungen gelten und die LEBESGUE-schen Räume ℒ_p eine gute “geometrische” Struktur besitzen. Insbesondere trägt der Raum ℒ₂ der quadrat-integrierbaren Funktionen durch Einführung eines Skalarprodukts eine Geometrie, die — bis auf die Dimension natürlich — derjenigen der euklidischen Räume ℝ̄ⁿ gleicht. Die LEBESGUEschen Räume wurden 1910 von F. RIESZ bei der Untersuchung von Integraloperatoren eingeführt.