Räume konstanter Krümmung

Zusammenfassung

Für jede Krümmungsgröße ist die Konstanz eine naheliegende Bedingung, die man untersuchen sollte. Dieses Kapitel befaßt sich daher mit Riemannschen Mannigfaltigkeiten, bei denen die Schnittkrümmung K konstant ist oder, äquivalenterweise, bei denen der Krümmungstensor R bis auf eine Konstante K mit dem Krümmungstensor R ₁ der Einheits-Sphäre übereinstimmt, bei denen also R = KR ₁ gilt, vgl. 6.8. Auf diese Räume wird man auch geführt, wenn man das Problem der freien Beweglichkeit starrer Körper untersucht, vgl. 7.6. Helmholtz hat diese Beweglichkeit im 19. Jahrhundert aus physikalischer Sicht postuliert. Selbstverständlich gehören der euklidische Raum sowie die Sphäre selbst zu diesen Räumen. Aber es gibt — außer offenen Teilmengen davon — auch noch andere Beispiele. Die Bestimmung dieser Räume ist das sogenannte Raumformen-Problem. Auch die Frage nach der Existenz eines Raumes mit Schnittkrümmung K = −1 (als Pendant zur Sphäre) war lange Zeit ein ungelöstes Problem, dessen Lösung schließlich durch den hyperbolischen Raum gegeben wurde. Wir wenden uns diesem jetzt zu und erklären ihn als Hyperfläche im pseudo-euklidischen Raum, analog zum Fall der Dimension 2 in Abschnitt 3E. Hier brauchen wir nur die dortigen Ausführungen auf den n-dimensionalen Fall zu übertragen, was zusätzlich durch die Gauß-Gleichung sowie die Sätze in Abschnitt 6B über den Krümmungstensor erleichtert wird. Ein Hauptergebnis in Abschnitt 7B ist dann die lokale Isometrie je zweier Riemannscher Metriken mit der gleichen konstanten Schnittkrümmung (7.21). In den Abschnitten 7C und 7D greifen wir das Raumformen-Problem auf, speziell in den Dimensionen 2 und 3.