Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wollen wir eine „innere Geometrie“ ohne Benutzung eines umgebenden Raumes ℝⁿ⁺¹ erklären, und zwar nicht nur lokal, sondern auch global. Damit werden die Betrachtungen von Kapitel 4 fortgesetzt. Die entscheidenden Hilfsmittel sind einerseits in lokaler Hinsicht eine „erste Fundamentalform“ ohne Verwendung eines umgebenden Raumes ℝⁿ⁺¹ (analog zur inneren Geometrie in Kapitel 4) und andererseits in globaler Hinsicht der Begriff der „Mannigfaltigkeit“. Dabei geht der lokale Begriff im wesentlichen zurück auf Riemanns berühmten Habilitationsvortrags¹ was die heutigen Bezeichnungen Riemannsche Geometrie, Riemannsche Mannigfaltigkeit, Riemannscher Raum erklärt². Motiviert ist das an dieser Stelle für uns einerseits durch die innere Geometrie von Flächen einschließlich des Satzes von Gauß—Bonnet und andererseits durch das natürliche Vorkommen von solchen Räumen, die nicht oder nicht in naheliegender Weise als Hyperfläche in einen ℝⁿ eingebettet werden können, wie z. B. die Poincaré-Halbebene als Modell der nichteuklidischen Geometrie. Bei den in der Allgemeinen Relativitätstheorie betrachteten Raumzeiten von 3+1 Dimensionen schließlich gibt es, jedenfalls in natürlicher Weise, keinen umgebenden Raum. Man muß daher alle relevanten Größen rein innergeometrisch erklären.