Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird ein neues Verfahren für lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung entwickelt, das die Lösungen durch Einsetzen in Lösungsformeln berechnet. Das Verfahren beruht sowohl auf Differential-Galoistheorie als auch auf Invariantentheorie. Im Gegensatz zu den bekannten Verfahren werden hier ausschließlich absolute Invarianten verwendet. Das bietet den Vorteil, die zu bestimmende Konstante aus den Syzygien berechnen zu können. Die Vorgehensweise orientiert sich an der zur Differentialgleichung gehörenden Galoisgruppe. Es wird unterschieden, ob die Galoisgruppe reduzibel, imprimitiv oder primitiv und endlich ist. Da sich nicht alle algebraischen Lösungen in Radikalen ausdrücken lassen, muß teilweise auf deren Repräsentation durch ein Minimalpolynom zurückgegriffen werden. Dazu ist es allerdings mindestens für diese Fälle notwendig, die zur Gleichung gehörende Galoisgruppe explizit zu kennen. Doch gibt die Differentialgleichung ihre Galoisgruppe nicht so ohne weiteres preis. Aus diesem Grund wird in einem Vorberechnungschritt ein sogenanntes in Invarianten zerlegtes Minimalpolynom für jede potentiell mögliche Galoisgruppe bestimmt. Daraus berechnet man dann im eigentlichen Algorithmus im Fall einer primitiven endlichen Galoisgruppe das Minimalpolynom einer Lösung, andernfalls werden die Lösungen der Gleichung direkt bestimmt.