Zusammenfassung
Den Ausgangspunkt für die Differentialrechnung bildeten zwei Probleme:
-
1.
Die Bestimmung der Tangente an eine beliebige Kurve (§225).
-
2.
Die Bestimmung der Geschwindigkeit bei beliebigen Bewegungen (§223).
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Literature
Bei Newton als „Fluß“bezeichnet. Der Ausdruck „Ableitung” wurde im 18. Jahrhundert (von Arbogast) eingeführt.
Der Ausdruck „Differential“(voxm lateinischen differentia) wurde von Leibniz eingeführt.
Dieser Paragraph dient der Einführung für § 224.
Es wird geraten, vorher § 223 dur abzulesen.
Über Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert, s. § 231.
Wenn die Kurve keine Tangente besitzt, so hat die Funktion keine Ableitung und umgekehrt.
Nikolaus Iwanow itsch Lobatschewski (1792–1856) hat seinen Namen durch die Entdeckung der nicht-euklidischen Geometrie unsterblich gemacht. Er ver-faßte auch hervorragende Arbeiten auf dem Gebiet der Algebra und der mathematischen Analysis. Die Weltanschauung N. I. Lobatschewskis trägt einen ausgeprägten materialistischen Charakter. Die größten Verdienste erwarb sich N. I. Lobatschewski als Vorkämpfer einer modernen Gesellschaft, als Pädagoge und als Organisator der Volksbildung. Das gesamte Leben des Gelehrten ist mit der Universität Kasan verbunden, wo er selbst erzogen wurde und wo er später als Professor und Rektor wirkte.
Eine Ausnahme besteht nur dann, wenn bei einer Vergrößerung des Arguments der Funktionswert entweder stets zunimmt oder stets abnimmt (derartige Funktionen heißen monoton).
Anfangsbuchstaben der lateinischen Wörter logarithmus naturalis.
Die Formel (3) erhält man aus (1) mit Hilfe der Formel (1) aus § 242.
Die Formeln (1) und (2) erhält man durch logarithmische Differentiation (§ 244), oder man betrachtet die Exponentialfunktion als Umkehrfunktion zur logarithmischen Funktion (§241).
Siehe auch § 271, Bemerkung.
Die Gleichung (2) definiert ebenfalls eine zweiwertige Funktion. Sobald aber ein Wertepaar für die Variablen bekannt ist, wird dadurch aus den beiden möglichen Funktionsweisen einer ausgesondert (vgl. Beispiel 1).
In 1) Formel (3) leitet man analog zu Formel (1) in § 259 her. Man erhält sie aus dieser Formel, indem man dort alle Differentiale durch die entsprechenden Ableitungen nach dem Parameter ersetzt.
Joseph Louis Lagrange (1736–1813) war ein bedeutender französischer Gelehrter. Er begründete die analytische Mechanik und war einer der Schöpfer der Variationsrechnung.
Eine Ausnahme bestellt nur dann, wenn die zweite Ableitung f” (ff) Null ist oder nicht existiert.
Augustin Cauchy (1789–1857) war ein bedeutender französischer Mathematiker und Physiker. Cauchy erkannte die Notwendigkeit, die mathematische Analysis auf eine logische Grundlage zu stellen, und führte diese Aufgabe selbst durch.
De l’Hospital (1601–1701:) war der Autor des ersten gedruckten Lehrbuches über Differentialrechnung (1696), in dem auch die Formulierung der besagten Regel zu finden ist (in weniger exakter Form als hier). Bei der Anfertigung dieses Lehrbuches verwendete de L’Hospital ein Manuskript seines Lehrers Beknoulli. Das Manuskript enthielt auch die erwähnte Regel. Die Bezeichnung „Hegel von de l’Hospital“ist daher historisch gesehen falsch.
Colin Mao Laurin (1698–1746) war ein englischer Mathematiker. Die Potenzreihe (6) bezeichnet man heute (ohne hinreichende Begründung) als Mac Laurin-sche Reihe.
Es wird geraten, zuerst § 270 zu lesen.
Zum Unterschied von anderen Formen des restglieds.
Bei konstanten Werten von a und b ändert sich ξ in der Regel mit n.
Vgl. § 270, Pkt. 3.
Vorausgesetzt, daß die Funktion im Intervall (a, b) differenzierbar ist.
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Wygodski, M.J. (1976). Differentialrechnung. In: Höhere Mathematik griffbereit. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-90113-2_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-90113-2_4
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-528-18309-7
Online ISBN: 978-3-322-90113-2
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