Zusammenfassung
Im Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit steht die Bewertung auf unvollständigen Märkten. Auf diesen existiert nicht für alle Derivate ein Duplikationsportfolio. Nicht redundante Derivate können damit weder perfekt abgesichert werden noch können sie alleine mittels der Forderung der Arbitragefreiheit eindeutig bewertet werden. Ansätze, die sich mit den Problemen der Bewertung und der Absicherung auf einem unvollständigen Markt beschäftigen, wurden in Kapitel 3 dargestellt. Im weiteren werden nun speziell implizite Verfahren betrachtet, die mittels der Entropie, der Cross-Entropie, der erweiterten Entropie und der erweiterten Cross-Entropie jeweils eine eindeutige Bewertungsfunktion auswählen. Die hierfür benötigten Entropiekriterien wurden in Kapitel 4 eingeführt.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Vgl. zu den zulässigen Bewertungsfunktionen Kapitel 2.3. Dort wird auch erläutert, wie zusätzlich Derivate berücksichtigt werden können, für die nur die heutigen Preise und die Zahlungen bei Fälligkeit, nicht aber die Preisprozesse bis Fälligkeit gegeben sind.
Vgl. Kapitel 3.1.1.
Vgl. Kapitel 3.1.2.
Vgl. hierzu Kapitel 2.3.2. Anzumerken ist an dieser Stelle, daß man stets davon ausgeht, daß die Bewertungsfunktion für pfadabhängige Zahlungen in T gegeben ist. Man steht damit nicht wie Rubinstein (1994) [93] vor dem Problem, die pfadunabhängigen Preise von Zuständen, die durch den Aktienkurs in T definiert sind, jeweils auf die einzelnen Pfade zu verteilen, die alle zu diesem Aktienkurs in T führen.
Vgl. zu dem Unterschied zwischen einer exakten und einer approximativen Kalibration S. 100.
Buchen, Kelly (1996) [18] weisen darauf hin, daß das von ihnen vorgestellte Verfahren immer dann anwendbar ist, wenn die Bewertungsfunktion durch den Erwartungswert einer bekannten Funktion der Zahlung in T unter einem unbekannten, noch zu bestimmenden Wahrscheinlichkeitsmaß beschrieben wird.
Vgl. hierzu auch Kapitel 3.3.
Avellaneda et al. (1999) [4] zeigen, daß man hier auch von einem varianzreduzierenden Verfahren sprechen kann.
Gulko (1999) [47] rechtfertigt die Wahl des äquivalenten Martingalmaßes, dessen Entropie maximal ist, durch die „Entropic Market Hypotheses“. Dieser Hypothese zufolge ist die Informationseffizienz des Marktes äquivalent dazu, daß zur Bewertung nicht redundanter Derivate die Verteilung mit der maximalen Entropie verwendet wird. Allerdings geht er nicht auf die Problematik ein, die sich daraus ergibt, daß man je nach verwendetem Numeraire eine andere Bewertungsfunktion erhält. Die hierdurch entstehende Verbindung zwischen der Informationseffizienz des Marktes und der Wahl eines Numeraire stellt meines Erachtens die von Gulko aufgestellte „Entropic Market Hypotheses“in Frage.
Vgl. hierzu S. 104.
Hierauf weisen auch Stutzer (1996) [105] und Buchen, Kelly (1996) [18] hin.
Stutzer (1996) [105] spricht in diesem Zusammenhang davon, daß sich in der historischen Verteilung die datenbasierten Einschätzungen der Investoren über die Zukunft widerspiegeln.
Vgl Kapitel 3.3.
Anschaulich gesprochen ist es die Aufgabe dieser a-priori Informationen, die Bewertungsfunktion in den Bereichen festzulegen, über die die Basiswertpapiere keine Aussage treffen. Vgl. Avellaneda et al. (1997) [6].
Der stochastische Diskontierungsfaktor ist definiert als der Arrow-Debreu-Preis pro Einheit Wahrscheinlichkeitsmasse. Vgl. Kapitel 2.3.
Vgl. hierzu den ersten in Kapitel 3.4 diskutierten Fall.
Eine nach den a-priori Informationen gegliederte Übersicht über die Verfahren ist auf S. 166 ff. zu finden.
Vgl. Rubinstein (1994) [93], Jackwerth, Rubinstein (1996) [66], (1997) [67] und speziell für Arbeiten, die auf der Entropie basieren, Buchen, Kelly (1996) [18] und Stutzer (1996) [105].
Vgl. Kapitel 2.3.2.
Das Maß ist ein zulässiges äquivalentes Martingalmaß, wenn bereits die a-priori Bewertungsfunktion zulässig und arbitragefrei ist. Vgl. zu dem Unterschied zwischen einer Bewertungsfunktion und einer zulässigen Bewertungsfunktion auch Kapitel 2.3.1.
Vgl. Kapitel 2.3.1.
Hier wird ein zeit- und zustandsdiskretes Modell unterstellt. Unter technischen Bedingungen kann das Problem auch in einem zeit- und zustandsstetigen Modell gelöst werden. Betrachtet man ein Modell, in dem die Unsicherheit durch einen mehrdimensionalen Wiener Prozeß erzeugt wird, dann sind bei der Modellspezifikation der Drift und die Volatilität der Basiswertpapiere unter dem a-priori Maß P festzulegen. Führt man eine Maßtransformation durch, so haben die Prozesse unter dem neuen Maß einen anderen Drift, aber nach wie vor die gleiche Volatilität (vgl. Samperi (1999) [96], der hier von „thin subsef-Problemen spricht). Dies ist dann problematisch, wenn die verschiedenen Bewertungsmodelle, von denen eines auszuwählen ist, sich gerade in der (deterministischen) Volatilität unterscheiden. Avellaneda et al. (1997) [6] umgehen dieses Problem, indem sie direkt eine „entropieähnliche“Funktion der Volatilitäten minimieren. Man kann, worauf Avellaneda et al. (1997) [6] hinweisen, das Problem auch dadurch umgehen, daß man anstelle eines stetigen Modells ein diskretes Modell betrachtet, das dieses stetige Modell approximiert.
Vgl. z.B. Stutzer (1996) [105].
Vgl. Gleichung (4.19).
Vgl. Kapitel 3.1.
Vgl. Kapitel 2.3.2. Dort sind die Bedingungen aufgeführt, die eine zulässige Bewertungsfunkton erfüllen muß, die durch das äquivalente Martingalmaß zu einem Numeraire und den Preisprozeß des Numeraire beschrieben wird.
Vgl. hierzu auch Kapitel 2.4.2.
Der Zusammenhang zwischen den Marktpreisen des Risikos und dem Maßwechsel von P zu einem signierten Martingalmaß zum Numeraire Z wird in Kapitel 2.4.1 dargestellt.
Vgl. Kapitel 2.3.2 sowie S. 171–172.
Auf den Zusammenhang zwischen der Minimierung der Cross-Entropie und der Lösung eines Portfo-lioplanungsproblems weisen beispielsweise auch Avellaneda et al. (1999) [4] und Frittelli (2000) [38] hin. Sie gehen jedoch nicht auf die Rolle des Numeraire Z ein.
Vgl. z.B. Samperi (1998) [94], Rheinländer (1999) [92], Frittelli (2000) [38] oder Delbaen et al. (2000) [29].
Vgl. hierzu den ersten Teil von Kapitel 3.4.
Vgl. Gleichung (4.11).
Vgl. hierzu auch Kapitel 3.3.
Vgl. Gleichung (5.7).
Vgl. Kapitel 2.3.2.
Vgl. Kapitel 2.4.1
Die Arrow-Debreu-Preise sind unter Umständen mit einem Proportionalitätsfaktor zu multiplizieren, um die richtige Bewertung des Numeraire sicherzustellen. Vgl. S. 196f.
Vgl. hierzu Avellaneda (1998) [5] und Stutzer (1996) [105].
Ist ein a-priori Maß gegeben, so wird dies auf S. 221 diskutiert. Ist eine a-priori Bewertungsfunktion gegeben, so wird dies auf S. 239 dargestellt. Und sind keine a-priori Informationen gegeben, so ist die Diskussion auf S. 248 zu finden.
Der stochastische Diskontierungsfaktor ist definiert als der Arrow-Debreu-Preis pro Einheit Wahrscheinlichkeitsmasse. Vgl. hierzu Kapitel 2.3.2.
Vgl. Kapitel 2.3.2.
Dieses Auswahlkriterium wurde in Kapitel 5.2.1 dargestellt.
Vgl. Gleichung (4.45).
Vgl. Gleichung (4.46).
Vgl. S. 145.
Vgl. Kapitel 2.3.2.
Ist nur der Preisprozeß des Numeraire gegeben, dann ist jedes zu P äquivalente, hier also streng positive Maß ein zulässiges äquivalentes Martingalmaß zu diesem Numeraire.
Die Wahl von c hat laut Gleichung (4.47) keinen Einfluß auf die erweiterte Cross-Entropie.
Dieser Zusammenhang wird in Kapitel 5.4 nochmals aufgegriffen werden.
In dem Fall, in dem die in T fällige Nullkuponanleihe gehandelt wird, entspricht die hier diskutierte Wahl des stochastischen Diskontierungsfaktors mit der minimalen erweiterten Cross-Entropie gegenüber P gerade der Wahl des äquivalenten Martingalmaßes zum Numeraire Nullkuponanleihe mit der minimalen Cross-Entropie gegenüber P. Die Zeitkonsistenz dieses Verfahrens überträgt sich dann auf das hier diskutierte Auswahlkriterium.
Vgl. auch Fußnote 88. Dort wurde gezeigt, daß in diesem Fall die aus dem Portfolioplanungsproblem folgende Bewertungsfunktion und die durch Minimieren der erweiterten Cross-Entropie des stochastischen Diskontierungsfaktors gegenüber P folgende Bewertungsfunktion unabhängig vom Anfangsvermögen W(0) übereinstimmen.
Dies hätte mein auch so zeigen können, daß man ausgehend von dem Portfolioplanungsproblem in der Originalökonomie das zugehörige Auswahlkriterium für die Bewertungsfunktion bestimmt hätte. Hilfsmittel hierfür ist die Risk-Management-Dualität, die z.B. bei Samperi (1998) [94] zu finden ist. Dieses Vorgehen führt in der Tat auf das Kriterium, die erweiterte Cross-Entropie des stochastischen Diskontierungsfaktors gegenüber P zu minimieren. Hier wurde auf diese direkte Herleitung verzichtet und stattdessen die Lösung vorgegeben.
Vgl. S. 196.
Vgl. Gleichung (5.43).
Vgl. Kapitel 2.3.2.
Man geht davon aus, daß dieses Maß P streng positiv ist, schränkt es aber ansonsten nicht weiter ein.
Vgl. Kapitel 2.3.2.
Man fordert an dieser Stelle nur, daß das Maß streng positiv ist. Inwieweit P einen Einfluß auf die ausgewählte Bewertungsfunktion hat, wird im folgenden noch zu diskutieren sein.
Vgl. Gleichung (4.50)
Vgl. Gleichung (4.51).
Vgl. Gleichung (4.28).
Vgl. Gleichung (4.29).
Rights and permissions
Copyright information
© 2002 Deutscher Universitäts-Verlag GmbH, Wiesbaden
About this chapter
Cite this chapter
Branger, N. (2002). Implizite Verfahren auf Basis der Entropiekriterien. In: Bewertung nicht redundanter Finanzderivate mittels Entropie und Cross-Entropie. Gabler Edition Wissenschaft. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-89658-2_5
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-89658-2_5
Publisher Name: Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-8244-7636-7
Online ISBN: 978-3-322-89658-2
eBook Packages: Springer Book Archive