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Stetigkeit und Vollständigkeit in der Geometrie

Über die logisch-mathematischen Grundlagen und die technisch-operationale Rechtfertigung des Koordinatenbegriffs
  • Klaus Mainzer
Chapter
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Part of the Wissenschaftstheorie Wissenschaft und Philosophie book series (WWP, volume 16)

Zusammenfassung

Die Zahlen entstanden historisch als technisch gerechtfertigte Meßgrößen. Das einfachste Beispiel liefert die Technik des Zählen einer Anzahl von Gegenständen. Trägt man die so eingeführten “natürlichen Zahlen” als Einheiten auf einem Lineal ab, erhält man durch Teilen, Dritteln, Vierteln etc. technische Darstellungen der rationalen Zahlen. Allgemein ist ein Meßergebnis eine rationale Zahl r mal einer (physikalischen) Einheit.2

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Anmerkungen

  1. 1).
    Für den historisch-philosophischen Hintergrund vgl. F. Kaulbach: Philosophisches und mathematisches Kontinuum, in: RationalitätPhänanenalität-Individualität, (Hrsg. W. Ritzel) Bonn 1966, S. 125–147.Google Scholar
  2. Ebenso vgl. K. Mainzer:Das Begründungsproblem des mathematischen Kontinuums in der neuzeitlichen Entwicklung der Grundlagenforschung, in: Philosophia Naturalis, Bd. 16, Heft 1, 1976m 5.125 ff.Google Scholar
  3. K. Mainzer: Geanetrie und Raumanschauung, in: Akten des Leonard-NelsonSyngosions in Göttingen 1977 (Hrsg.: G.Henry-Hermann, S. Körner u.a. ), Hamburg 1978Google Scholar
  4. K. Mainzer: Der Raum nach Kant, in: Experiment der Vernunft (Festschrift für Friedrich Kan1h h) (Hrsg.:R. Berlinger u. F.Kambartel ), Hildesheim 1978.Google Scholar
  5. K. Mainzer: Symmetrie und Invarianz, in: Akten des 16. Weltkongresses für Philosophie, Düsseldorf 1978.Google Scholar
  6. 2).
    Dazu auch E. Mach: Zur Psychologie und natürlichen Entwicklung der Geometrie, in: Erkenntnis und Irrtum, Leipzig 1917, S. 372.Google Scholar
  7. 3).
    D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie, 1. Aufl. 1899. (Zitiert nach der 9. Aufl. Stuttgart 1962 ).Google Scholar
  8. 4).
    Vgl. J. Dieudonné: Foundations of Modern Analysis, New York Lóndon 1960, Chapter I.Google Scholar
  9. 5).
    Für eine genetische Einführung der reellen Zahlen vgl. auch E. Landau: Grundlagen der Analysis, Leipzig 1930 (Nachdruck: Darmstadt 1963). Landau ist orientiert an der klassischen Einführung von R. Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872), 6. Aufl. Braunschweig 1962.Google Scholar
  10. 6).
    In dieser Weise bezieht auch R. Carnap den “formalen Raum” auf das “Kontinuum” der reellen Zahlen. Vql. R. Carnap:Der Raum - Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre, in: Kant-Studien Ergänzungsheft Nr. 56, 1922, S. 13.Google Scholar
  11. 7).
    D. Hilbert: s. Arne. 3, S. 3o.Google Scholar
  12. 8).
    D. Hilbert: s Arm. 3, S. 3o.Google Scholar
  13. 9).
    Zum Status formaler Aussagen in der Geometrie Hilberts und ihrer Kritik durch Frege vgl. F. Kambartel: Zur Rede von “formal” und “Form” in sprachanalytischer Absicht, in: Phänanenologie und Sprachanalyse, Neue Hefte für Philosophie Bd. 1 (Hrsg.: R. Bubner, K. Cramer, R. Wiehl), Göttingen 1971, S. 64 ff.Google Scholar
  14. 10).
    Zum philosophischen Hintergrund der intuitionistischen Mathematik vgl. auch W. Stegniiller: Metaphysik, Skepsis, Wissenschaft, 2. Aufl. Berlin Heidelberg New York 1969, S. 298 ff.CrossRefGoogle Scholar
  15. Für den Zusammenhang von Kants Erkenntnistheorie und intuitionistischer Mathematik vgl. K. Mainzer: Objectivity through Constructive Procedures, in:Contemporary German Philosophy (Hrsg.: D.E. Christensen, M. Riedel, R. Spaemann, R. Wiehl, W. Wieland) Bd. 1, Salzburg 1979. (Übersetzung von: Objektivität durch konstruktive Verfahren, in: Kant-Studien, 1975 Heft 4, S. 446–465 ).Google Scholar
  16. 11).
    Das ist eine entscheidende Voraussetzung für das intuitionistische Auswahiaxicm und die intuitionistische Bar-Induktion. Dazu auch K. Mainzer: Is the Intuitionistic Bar-Induction a Constructive Principle?, in: Notre Dame J. Formal Logic, vol. XVIII, number 4 1977, p. 583–588.Google Scholar
  17. 12).
    Vgl. L.E.J. Brouwer: Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik I, in: Math. Annalen 93, 1925, S. 244 ff.Google Scholar
  18. 13).
    Vgl. S.C. Kleene/R.E. Vesley: The Foundations of Intuitionistic Mathematics, Amsterdam 1965, p. 49.Google Scholar
  19. 14).
    Vgl L.E.J. Brouwer:Ober die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie, in: J. reine angew. Math. 154, 1924, S. 1 ff. (Ebenso abgedruckt in: Jbr. Deutsch. Math. Verein. 33, 1924, S. 67 ).Google Scholar
  20. 15).
    Dazu auch A. Heyting: Intuitionism, Amsterdam 1956, p. 36 ff.Google Scholar
  21. 16).
    H. Weyl:Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, in: Handbuch der Philosophie (Hrsg.: A. Baeumler, M. Sehröter), München und Berlin 1927, Abteilung II. S. 43.Google Scholar
  22. 17).
    Für den Zusammenhang der Phänomenologie Husserls mit der intuitionistisdien Geometrie Brouwers vgl. auch O. Becker: Beiträge zur phänomenologischen Begründung der Geometrie und ihrer physikalischen Anwendung § 2, in: Jahrbuch für Philosophie und phänanenologiéhe Forschung (Hrsg. E. Husserl ), Bd. V, 1923.Google Scholar
  23. 18).
    Der konstruktive Aufbau geht historisch zurück auf H. Weyl:Das Kontinuum, Leipzig 1918. Jedoch verwarf Weyl 1921 diesen Aufbau in “Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik” und zog den intuitionistischen Aufbau Brouwers vor, da zum damaligen Zeitpunkt noch kein konstruktiver Widerspruchsfreiheitsbeweis für die klassische Arithmetik zu Verfügung stand und diese Voraussetzung in seiner Arbeit von 1918 willkürlich erscheinen mußte. Diese Situation änderte sich nach den einschlägigen Arbeiten von Gentzen, Gödel und Lorenzen:Die Widerspruchsfreiheit der klassischen Analysis, in: Math. Zeitschrift Bd. 54, 1951, S. 1 ff.)Google Scholar
  24. 19).
    P. Lorenzen: Differential und Intergral, Frankfurt 1965, S. 20 ff.Google Scholar
  25. 20).
    Für prädikative Begriffsbildungen in der Analysis nach G. Kreisel und S. Feferman vgl. K. Mainzer: Zu Freges analytischen Begriffen 2, Stufe, in.Frege und die moderne Grundlagenforschung (Hrsg. C. Thiel), Meisenheim a. Glan 1975, S. 94 ff.Google Scholar
  26. G. Kreisel und S. Feferman vgl. K. Mainzer: zu prädikativen Komprehensionen in: Wie ist die Entwicklung von apriorischen Wissenschaften möglich? in: Akten des XI. Deutschen Kongresses für Philosophie in Göttingen 1975, (Hrsg.; G. Patzig, E. Scheibe, W. Wieland), Hamburg 1977, S. 415 ff.Google Scholar
  27. 21).
    P. Lorenzen: s. Anm. 18, S. 67 f.Google Scholar
  28. 22).
    Vgl. P. Janich: Zur Protophysik des Raumes, in: Protophysik (Hrsg.: G. Böhme), Frankfurt 1976, S. 83 ff.Google Scholar
  29. Ebenso A. Kamlah: Zwei Interpretationen der geometrischen Hanogenitätsprinzipien in der Protophysik, in: e.d.S. 169 ff.Google Scholar
  30. 23).
    Für den philosophischen Hintergrund der ‘Non-Standard Analysis’ vgl. A. Robinson: The Metaphysics of the Calculus, in: Problems in the Philosophy of Mathematics (ed. I. Lakatos), Amsterdam 1967, p. 28–40.CrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1979

Authors and Affiliations

  • Klaus Mainzer

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