Gewichtete Approximation Durch Variationsvermindernde Operatoren vom Faltungstyp

Zusammenfassung

Es sei R bzw. P bzw. N die Menge aller reellen bzw. nichtnegativen ganzen bzw. natürlichen Zahlen. Sei C der Raum aller auf R gleichmäßig stetigen und beschränkten Funktionen mit der Norm

$${{\left\| f \right\|}_{C}}\equiv {{\left\| f(x) \right\|}_{C}}=\underset{x\in R}{\mathop{\sup }}\,|f(x)|$$

und L^P, 1≤p≤∞, der Raum aller auf R meßbaren Funktionen, für die die Norm

$${{\left\| f \right\|}_{p}}\equiv {{\left\| f(x) \right\|}_{p}}=\left\{ \begin{matrix} {{(\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| f(x) \right|{{p}_{dx}}})}^{1/p}},1\le p\prec \infty \\ ess {{\sup }_{x\in R}}\left| f(x) \right|,p=\infty \\ \end{matrix} \right.$$

endlich ist. X sei einer der Räume C oder L^P, 1≤p<∞. Für f∈X sei ein singuläres Integral vom Faltungstvp der Form

$$I(f;x;\rho )\equiv (f*{{x}_{\rho }})(x)=\rho \int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(x-u)x(\rho u)}du(\rho >0)$$

(1.1)

vorgegeben. Dabei sei ρ > 0 ein Parameter, der gegen unendlich streben soll, und {χ_ρ(x)}_ρ>0 der Kern des singulären Integrals {I(f;x;ρ)}_ρ>0, der hier immer die spezielle Parameterabhängigkeit χ_ρ(x) = ρχ(ρx) aufweisen soll. In diesem Fall bezeichnet man auch die Funktion χ selbst als Kern von (1.1). Ist χ∈ NL¹ d.h. ist X∈ L¹ normiert zu $\int_{-\infty }^{\infty }{X(x)dx=1}$, so bilden die Operatoren (1.1) für ρ→∞ einen starken Approximationsprozeß auf X, d.h., für jedes f∈ X gilt (vgl. [4,p.121])

$$\underset{\rho \to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left\| I(f;x;\rho )-f(x) \right\|}_{x}}=0.$$

(1.2)