Vierdimensionale Formulierung im Minkowski-Raum

Zusammenfassung

Räumliche und zeitliche Abstände zwischen zwei Ereignissen sind nach (2.7) für verschiedene Beobachter verschieden, die Größe

$${\left( {\Delta s} \right)^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2} + {\left( {{z_1} - {z_2}} \right)^2} - {\left( {c{t_1} - c{t_2}} \right)^2}$$

(3.1/1)

hat dagegen für jeden Beobachter denselben Wert, denn sie ist nach (2.3) unter Lorentz-Transformationen invariant. Nach Minkowski läßt sie sich durch Einführung der imaginären Zeitkoordinate x ⁰ = ict in der Form schreiben

$${\left( {\Delta s} \right)^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2} + {\left( {{z_1} - {z_2}} \right)^2} - {\left( {x_1^0 - x_2^0} \right)^2}$$

(3.1/2)

wodurch die Interpretation als „Abstand“in einem vierdimensionalen Raum nahegelegt wird. Wie die Drehung der Koordinatenachsen in der euklidischen (x, y)-Ebene die Koordinaten der Punkte dieser Ebene ändert, den Abstand $\sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}}$ zwischen zwei Punkten aber fest läßt, so ändern auch die Lorentz-Transformationen zwar die Raum-Zeit-Koordinaten der Ereignisse, nicht aber den Raum-Zeit-Abstand Δs (3.1/1) zwischen zwei Ereignissen, auch Raum-Zeit-Intervall genannt.