Mathematische Logik und Grundlagenfragen

Zusammenfassung

Im ganzen bisherigen Verlauf unserer Betrachtungen haben wir untersucht, wie man in der Nichtstandard-Analysis oder allgemeiner in der Nichtstandard-Mathematik arbeitet. An den Anfang der Überlegungen haben wir Axiome gestellt. Die weiterführenden Untersuchungen sollten darlegen, wie man einen solchen Ansatz zum Lösen mathematischer Probleme und zum Modellieren mathematischer und realer Situationen benutzen kann; dies geschah in der Hoffnung, den Axiomen und der Methode auch nachträglich eine gewisse Plausibilität, Motivation und Rechtfertigung abzugewinnen. Nun sind aber schöne Ansätze sicher dann nichts wert, wenn sie innere Widersprüche in sich tragen und wir kommen schließlich nicht daran vorbei, uns die Frage zu stellen, ob denn unser ganzes Vorgehen überhaupt legitim ist. Probleme wie “Ist ein gewisses Axiomensystem widerspruchsfrei?” oder “Sind diese und jene Schlußweisen erlaubt?” sind Gegenstand der mathematischen Grundlagenforschung. Eine typische Schwierigkeit ist hier, daß Begriffe, mit denen man über Mathematik redet, wie “Wahrheit”, “Beweis” etc. selber wieder zum Gegenstand mathematisch-logischer Betrachtungen gemacht werden. Eine solche Mathematisierung eigentlich “naiver” oder “metamathematischer” Begriffe nennt man auch oft eine Formalisierung. In diesem Sinne hat man dann zwei Wahrheitsbegriffe: einen umgangssprachlich naiven und einen formalen, d.h. mathematisch definierten; genau wie man einen naiven “Abstand” und einen in der Geometrie definierten hat. Das Hauptproblem ist dabei die (mathematische) Angabe eines geeigneten sprachlichen Rahmens; wenn es überhaupt geht, ist es ziemlich klar, wie man dann den Wahrheitsbegriff zu erklären hat.