Große Probleme der Geometrie und des Raumes

Zusammenfassung

Mathematik zu betreiben heißt, große mathematische Probleme aufzuwerfen und zu versuchen, sie zu lösen. Sie schließlich zu lösen. Diesmal werden Probleme der Geometrie und des Raumes behandelt und geometrische Objekte in den Dimensionen 2 und 3 klassifiziert. Die Dimension 2 ist klassisch: es ist die Klassifikation von Flächen, die durch Anheften von Henkeln an Sphären entstehen. Man kann Flächen auch unter Benutzung der Poincaré-Lobatschewskischen oberen Halbebene beschreiben. Was geschieht in höheren Dimensionen? Für Dimensionen ≧5 hat Smale 1960 entscheidende Resultate erzielt. 1982 veröffentlichte Thurston bedeutende Ergebnisse in der Dimension 3. Er vermutete, wie solche Objekte von einfachen Modellen ausgehend konstruiert werden können, und ferner, wie man sie aus dem Analogon der oberen Halbebene in 2 Dimensionen erhalten kann. Er hat einen guten Teil seiner Vermutungen bewiesen. Wir werden Thurstons Vision beschreiben.¹