Polynomringe

Zusammenfassung

Es sei R ein unitärer kommutativer Ring. Wir betrachten die Menge Γ(ℕ, R) der Abbildungen f: ℕ → R mit endlichem Träger supp(f) = {n ∈ N; f(n) ≠ 0}. Diese können addiert und mit Ringelementen von links multipliziert werden, indem man (f + g)(n) = f(n) + g(n)und (rf)(n) = rf(n) für r ∈ R setzt. Es gilt offensichtlich (r + s)f = rf + sf und r(sf) = (rs)f, d. h. die Multiplikation ist distributiv und assoziativ von links. Außerdem gilt 1f = f sowie r(f + g) = rf + rg. Man kann aber auch zwei solche Abbildungen miteinander multiplizieren. Dazu bildet man ihr Konvolutionsprodukt, ein R-bilineares und assoziatives Produkt auf der Menge dieser Abbildungen, das f, g ∈ Γ(ℕ, R) die Abbildung f ∗ g ∈ Γ(ℕ, R) zuordnet, die durch

$$\left( {f * g} \right)\left( n \right): = \sum\limits_{k + l = n} {\,f\left( k \right)g\left( l \right)} $$

gegeben ist. Das Konvolutionsprodukt ist offensichtlich kommutativ, und so wird Γ(ℕ, R) zu einer kommutativen R-Algebra (siehe auch 22.1). Jedes f ∈ Γ(ℕ, R) lässt sich auf genau eine Weise als endliche Linearkombination f = ∑ f(n)δ _n der Abbildungen δ _n ∈ Γ(ℕ, R) schreiben, die für n den Wert 1, sonst aber den Wert 0 annimmt. Das Element δ₀ ist offensichtlich ein Einselement der Algebra. Definiert man induktiv für k ∈ ℕ Potenzen δ ^k₁ von δ₁, indem man $\delta _1^o = {\delta _o}$ und $\delta _1^k = \left( {\delta _1^{k - 1}} \right) * {\delta _1}$ für k ≥ 1 setzt,so gilt ${\delta _k} = \delta _1^k$ und daher

$$f = \sum {f\left( k \right)\delta _1^k.}$$