Automorphismengruppen von Graphen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Permutationsgruppen in der Form, wie sie bei Anwendungen sehr häufig auftreten, nämlich als Automorphismengruppen von Graphen. Den Begriff des Automorphismus kennen wir für k-stellige Relationen bereits aus 1.5.2. Nun beschränken wir uns auf den wichtigen Fall k = 2 (Graphen); deshalb sind alle zu betrachtenden Automorphismengruppen 2-abgeschlossen (Abschnitt 3.1), d. h., wir müssen uns hauptsächlich mit den 2-Bahnen und 2-stelligen invarianten Relationen von Permutationsgruppen beschäftigen. Automorphismen spiegeln gewisse innere Symmetrien (vgl. 1.6) wider. Ihre Kenntnis kann helfen, die Struktur des betrachteten Graphen zu verstehen bzw. zu untersuchen. Eines der für Anwendungen wichtigsten Probleme ist das Isomorphieproblem für Graphen (Abschnitt 3.2), das eng mit der Untersuchung von Automorphismen zusammenhängt. Die umgekehrte Fragestellung, welche Graphen eine gegebene Gruppe als Automorphismengruppe haben, führt zum sogenannten König-Problem (3.1.3). Ein sehr nützliches Hilfsmittel zur Untersuchung von Graphen und Permutationsgruppen lernen wir mit der Theorie der V-Ringe bzw. zellularen Ringe kennen (Abschnitt 3.3), die eine kombinatorische Approximation für das Rechnen mit 2-Bahnen von Permutationsgruppen darstellt und hier u. a. für die Berechnung der Automorphismengruppen der Binomialgraphen (Abschnitt 3.4) genutzt werden soll.