Erhaltungssätze

Zusammenfassung

Nachdem wir ausführlich die Gruppentheorie und die klassischen Feldtheorien diskutiert haben, können wir uns der bereits angekündigten Untersuchung über die Konsequenzen der Forminvarianz einer Feldtheorie zuwenden. Diese Konsequenzen können in einem Satz zusammengefaßt werden, dem sog. Noetherschen Satz [N1—3, VI]. Der Satz zählt zu den tiefgehendsten theoretischen Aussagen der gegenwärtigen Physik. Er lautet Behauptung 8.1: Sind die Bewegungsgleichungen einer klassischen Feldtheorie gegenüber einer (kontinuierlichen) lokal kompakten Lieschen Transformationsgruppe mit ρ infinitesimalen Operatoren forminvariant, so gibt es in dieser Theorie genau ρ Erhaltungssätze. Beweis: Wir führen den Beweis zunächst am Beispiel der eingeschränkten homogenen Lorentzgruppe L ^↑₊ durch, erweitern ihn aber später auf die inhomogene eingeschränkte Lorentzgruppe P ^↑₊ und auf Eichgruppen. Es sei eine Transformation zwischen dem System S und S gegeben. Im System S seien die Feldfunktionen φ_j(x) mit den Koordinaten x, im System S die Feldfunktionen φ_j(x) mit den Koordinaten x angenommen. Aus der vorausgesetzten Forminvarianz der Bewegungsgleichungen der Feldtheorie folgt wegen des Variationsprinzips aus Abschnitt 7.1 die Forminvarianz für das skalare Lagrangefunktional

$$ L[{\bar \varphi _j}(\bar X), {\bar \partial _\mu }{\bar \varphi _j}(\bar X)] = L[{\varphi _j}(X), {\partial _\mu }{\varphi _j}(X)]. $$

((8.1))