Grenzwert und Stetigkeit

Zusammenfassung

Die Mathematik des 16. und 17. Jahrhunderts, die sich in starkem Maße an geometrischen und physikalischen Fragestellungen orientierte, ging von anschaulichen Vorstellungen aus. Unter einer Variablen x verstand man eine — wir würden heute sagen: stetige oder kontinuierliche — Größe, die sich ändert, dem Fließen der Zeit vergleichbar; Ähnliches sah man im stetigen Annähern an einen Wert x₀ dieser Variablen. Eine von der Größe x abhängige Variable y = f(x) ändert sich ebenfalls stetig. Solange man diesen Sinn für die Begriffsbildung der Variablen zugrundelegte, ist das Wort Funktion in unserer heutigen Auffassung als stetige Funktion zu verstehen, denn bewegt sich die Variable x gegen x₀, so bewegt sich y = f(x) gegen y₀ = f(x₀). Die Unzulänglichkeit dieser Denkweise trat jedoch in dem Augenblick ans Licht, wenn zwar die Größe x stetig dem Wert x₀ „zufließen“ kann, jedoch für x₀ kein Funktionswert vorhanden ist: Welchem Wert nähert sich dann y = f (x)? Die Antwort auf diese Frage ist entscheidend zur Klärung des Differentialquotienten.