Elementare holomorphe Funktionen. Erweiterung des Holomorphiebegriffs

Zusammenfassung

Mit den einfachsten holomorphen Funktionen, den Polynomen und den rationalen Funktionen, be- fasst sich der erste Paragraph dieses Kapitels. Bei den rationalen Funktionen müssen wir zunächst die Nullstellenmenge des Nennerpolynoms aus der Definitionsmenge ausgrenzen. Bei der Untersuchung der Umkehreigenschaften der Exponentialfunktion im zweiten Paragraphen stoßen wir zum ersten Mal auf das Problem der Mehrdeutigkeit. Anstatt auf einer geeigneten Riemannschen Fläche eine globale Umkehrfunktion, „den“ Logarithmus, zu definieren, umgehen wir das Problem der Mehrdeutigkeit, indem nur gewisse Einschränkungen dieser globalen Abbildung, die Zweige des Logarithmus, betrachtet werden. Da diese Funktionen holomorph im gewöhnlichen Sinne sind, muss nicht auf die Theorie der Riemannschen Flächen zurückgegriffen werden. Die Potenz- und Wurzelfunktionen sind Thema des dritten Paragraphen. Die bei der Untersuchung des Definitionsbereichs einer rationalen Funktion im ersten Paragraphen aufgetretene Frage nach der Behandlung des unendlich fernen Punktes wird im vierten Paragraphen durch die Einführung der Riemannschen Zahlensphäre ℙ und durch die Definition des Holomorphiebegriffs auf ℙ beantwortet.