Differentialrechnung auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit

Zusammenfassung

Im Kapitel 16 wurden die algebraischen und die topologischen Grundlagen für die „Analysis auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten“ bereitgestellt, um die es uns geht. Es handelt sich jetzt darum, die klassischen Begriffe der Differentialrechnung, nämlich Ableitung, partielle Ableitung, gewöhnliche Differentialgleichung und partielle Differentialgleichung, auf die differenzierbaren Mannigfaltigkeiten zu verallgemeinern. Das ist weder trivial noch einfach, da man hier nicht über die unterliegende Vektorraumstruktur verfügt, die bei der Definition des Begriffs der Ableitung einer Abbildung einer offenen Menge Ω des Rⁿ in einen R^m benutzt wurde. Denkt man an die Definition der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten durch Karten, so könnte man versucht sein, sich mit ihrer Hilfe auf die klassischen Definitionen zu beschränken; es ist aber wesentlich, daß man dabei sichert, auf diese Weise wirklich innere, das heißt von der Wahl der Karten unabhängige, nur mit der Mannigfaltigkeit zusammenhängende Begriffe zu erhalten. Hat man erst einmal den Begriff des Tangentialraumes an eine Mannigfaltigkeit gewonnen (vgl. Abschnitt 16.5), so ist der einzige Begriff „infinitesimaler“ Natur, welcher anschaulich ein innerer zu sein scheint, der Begriff der linearen tangierenden Abbildung (vgl. (16.5.3)), und für reellwertige Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit der Begriff des Differentials (vgl. (16.5.7)), welcher im Grunde ein Spezialfall jener Abbildung ist. Den Begriff der „partiellen Ableitung“ zu verallgemeinern, scheint problematischer zu sein, da dieser Begriff bereits im Rⁿ mit der Wahl einer speziellen Basis dieses Vektorraumes verbunden ist.