Unlösbarkeit

Zusammenfassung

1m Anschluss an die Einführung des Begriffs der aufzäblbaren (Zahlen-) Menge wurde deutlich gemacht, dass man mit einem Aufzählungsvetfahren für eine solche (nichtleere) Menge zugleich über ein Verfahren verfügt, welches die positiven Antworten auf die Zugehörigkeitsfrage jeweils nach endlich vielen Schritten liefert, negative Antworten auf diese Frage aber nicht erbringt. Darüber hinaus wurde heuristisch die Vermutung nahe gelegt, dass bei gewissen aufzählbaren Mengen die zugehörigen negativen Antworten womöglich überhaupt nicht algorithmisch erbracht werden können. Dass es tatsächlich derartige aufzählbare Mengen gibt und dass diese nicht entscheidbar sind, wird in Kürze gezeigt werden. Da solche Mengen ja jedenfalls “positiv kalkulierbar” sind, stellen sie gewissermaßen besonders “leichte” Fälle von algorithmischer Unlösbarkeit dar. Schon aus diesem Grund verdienen aufzählbare Mengen ein besonderes Interesse. Zunächst soll jedoch gezeigt werden, dass sich die partiell-rekursiven Funktionen auch mithilfe des Begriffs der Aufzählbarkeit kennzeichnen lassen.