Skalarprodukte, Normen, Orthogonale Transformationen

Zusammenfassung

In den euklidischen Vektorräumen ${\mathbb{R}^2}$ und ${\mathbb{R}^3}$ konnten mit Hilfe des Skalarprodukts Längen von Vektoren und Winkel zwischen Vektoren berechnet werden. Bei den in Kapitel 2 eingeführten Vektorräumen steht ein solches Skalarprodukt bisher nicht zur Verfügung. Es ist auch nicht offensichtlich, wie ein Skalarprodukt etwa im Vektorraum der Polynome vom Grad ≦ n (vgl. Abschnitt 2.6.1) eingeführt werden sollte. Wie wir sehen werden, gibt es verschiedene Möglichkeiten, Skalarprodukte und damit Längen von Vektoren festzulegen, wobei die Auswahl häufig durch die ins Auge gefaßten Anwendungen bestimmt wird. In der numerischen Mathematik werden auch „Längen“ von Vektoren verwendet, die sich nicht aus einem Skalarprodukt herleiten lassen. Zunächst sollen daher die allgemeinen Eigenschaften eines Skalarprodukts zusammengestellt werden.