Algebraische Strukturen

Zusammenfassung

Eine Menge trägt eine metrische Struktur, wenn je zwei ihrer Elemente einen Abstand besitzen; sie trägt eine algebraische Struktur, wenn man aus je zwei ihrer Elemente ein drittes erzeugen, „produzieren“ kann, das selbst wieder zu dieser Menge gehört. So kann man etwa aus zwei reellen Zahlen a, b die Summe a + b oder das Produkt ab erzeugen, aus zwei (n, n)-Matrizen A, B ebenfalls ihre Summe A + B oder ihr Produkt AB, aus zwei Selbstabbildungen f, g einer Menge X ihr Kompositum f ○ g und aus zwei Elementen M, N der Potenzmenge von X ihre Vereinigung M ∪ N oder ihren Durchschnitt M ∩ N. Alle diese Situationen lassen sich formal einheitlich beschreiben: jedesmal ist nämlich eine gewisse Grundmenge G ≠ Ø gegeben (R, die Menge der (n, n)-Matrizen, die Menge der Selbstabbildungen von X, die Potenzmenge von X) und dazu noch eine Abbildung P:G × G → G. In einem solchen Falle heißt G ein Gruppoid. Den Funktionswert P(a, b), also dasjenige Element, das von a und b erzeugt oder produziert wird, nennen wir das Produkt von a und b und schreiben dafür a · b oder kurz ab: $P\left( {a,b} \right)$