Äußere Geometrie von Flächen

Zusammenfassung

Wir wollen in diesem Kapitel einen Begriffsapparat zur mathematischen Beschreibung der „Gestalt“ von Flächen entwickeln. Dabei lassen wir uns von der „natürlichen“ Betrachtung der Fläche leiten. Was das Adjektiv „natürlich“ ausdrücken soll? Nun, als Mathematiker erlauben wir uns auch eine „artifizielle“ Ansicht der Dinge. Bei Flächen kann diese beispielsweise so aussehen, daß wir der Frage nachgehen, welche Eigenschaften einer Fläche man erschließen kann, wenn man die Fläche mit einem Bandmaß vermißt und keine weiteren Informationen ausnutzt. Etwas weniger anschaulich gesprochen: Was alles kann man aus dem Maßtensor einer Parametrisierung ablesen? (Dabei sollen auch Ableitungen des Maßtensors zugelassen sein.) Diese Art des Flächenstudiums heißt innere Geometrie von Flächen oder — in abstrakterem Rahmen — Riemannsche Geometrie. Um es noch einmal in einem Bild auszudrücken: Dies ist die Geometrie einer intelligenten Ameise, die auf einer Fläche herumkrabbelnd diese erkundet. Hingegen besteht die „natürliche“ Betrachtungsweise einer Fläche darin, daß man sie von „außen“ her ansieht, daß man sie also als Objekt des umgebenden Raumes studiert. Diese Betrachtungsweise heißt äußere Geometrie. Unseren eigenen Lebensraum, die Erdoberfläche, konnten wir bis zum Start des Sputniks am 4.10.1957 nur mit Methoden der inneren Geometrie studieren. Das machte die Faszination der ersten, damals entstandenen Aufnahmen der Erde aus, weil man damit die Erdoberfläche zum ersten Mal in “natürlicher“ Weise sah.