Analytische Eigenschaften der Dirac-Operatoren

Zusammenfassung

Wir erinnern zunächst an einige Begriffe der Spektraltheorie linearer Operatoren in komplexen Hilbert-Räumen H. Sei A ein (i.A. unbeschränkter) Operator mit dichtem Definitionsbereich D(A). Den Wertebereich von A bezeichnen wir mit R(A). Der Graph Γ (A) ⊂ H × H besteht aus allen Paaren (x, Ax), x ∈ D(A). Wir wollen im folgenden voraussetzen, daß seine abgeschlossene Hülle $\overline {\Gamma \left( A \right)} \subset H \times H$ wiederum der Graph eines Operators Ā ist, den man die Abschließung von A nennt. Ā wirkt dann durch die Formel

$$ \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } A\left( {{x_n}} \right) $$

und sein Definitionsbereich D(Ā) besthet aus allen Vektoren x ∈ H, für die eine Folge x _n ∈ D(A) mit $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x_n} = x$ existiert und A(x _n ) gleichzeitig konvergent in H ist. Differentialoperatoren sind in diesem Sinne stets abschließbare Operatoren. Das Spektrum eines Operators besteht aus drei Bestandteilen. Zunächst sind dies die Eigenwerte von A, welche zusammengefaßt das sogenannte Punktspektrum σ _p (A) bilden:

$$ {\sigma_P}\left(A\right)=\left\{{\leftthreetimes \in {\Bbb C}:ker\left( {A - \leftthreetimes }\right)\#\left\{0\right\}}\right\}. $$

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