Polynomideale

Zusammenfassung

In diesem letzten Abschnitt des Buches konzentrieren wir uns auf Basen mit günstigen Eigenschaften von Idealen der Polynomringe über Körpern. Wir beweisen zuerst, daß diese Ringe Noethersch sind, das heißt jedes Ideal endlich erzeugt ist. Nach Einführung verschiedener Polynomreduktionsbegriffe definieren wir die Gröbner Basen, welche eine zentrale Rolle in der Computeralgebra spielen. Für die Bestimmung einer Gröbner Basis eines Ideals geben wir einen Algorithmus an. Wir präsentieren danach einige Anwendungen von Gröbner Basen. Für ein Polynom P(x̲) und Ideale I, J von K[x̲] beweisen wir zum Beispiel, daß die Probleme, ob P(x̲) zu I oder zu $\sqrt {I}$ gehört, und die Bestimmung eines Erzeugendersystems von I ∩ J algorithmisch lösbar sind. Hierbei bezeichnet $\sqrt {I}$ das Radikal von I. Als Abschluß des Buches beschäftigen wir uns noch einmal mit der Lösung polynomialer Gleichungssysteme. Gröbner Basen bewährten sich bestens auch für die Lösung dieser Aufgabe. Dieser Abschnitt ist zu kurz, um die Theorie der Gröbner Basen vollständig darstellen zu können. Für die Vertiefung der Kenntnisse verweisen wir auf das Buch von Th. Becker und V. Weispfenning [10].