Schwache Lösungstheorie

Zusammenfassung

Oftmals sind die Anforderungen an eine klassische Lösung — bei einer Differentialgleichung zweiter Ordnung also die zweifache stetige Differenzierbarkeit im Innern des Intervalls — unrealistisch. Zudem stammen viele Differentialgleichungen ursprünglich von einer integralen Beziehung (Erhaltungsgesetz, Variationsprinzip) ab, so dass weit geringere Regularitätsforderungen zu erfüllen sind. Hinzu kommt, dass gerade bei nichtlinearen Differentialgleichungen Lösungen im klassischen Sinne nicht zu existieren brauchen, wohl aber Lösungen in einem weiter gefassten Sinne existieren. Schließlich finden sich in der Praxis oft Probleme, in denen die gegebenen Daten (Koeffizienten, rechte Seite, Randbedingungen) womöglich unstetig sind, was im Allgemeinen ebenso eine klassische Lösung nicht zulässt.