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Funktionaldichten und Stereologie

  • Rolf Schneider
  • Wolfgang Weil
Part of the Teubner Skripten zur Mathematischen Stochastik book series (TSMS)

Zusammenfassung

Eine Hauptaufgabe der Stereologie, eines wichtigen Anwendungsgebiets der Stochastischen Geometrie, besteht darin, für zufällige Mengen X bzw. Partikelprozesse X charakteristische Größen von X zu schätzen, wenn nur ein Ausschnitt XW in einem „Fenster“ W oder ein niederdimensionaler Schnitt XE mit einer k-Ebene Eε k n beobachtet wird. Die bisher hergeleiteten Formeln erlauben dies nur teilweise bzw. in bestimmten Fällen. Beispiele dieser Art sind die Sätze 4.1.4, 4.1.7, 4.2.4, 4.2.6, 4.2.7 und 4.2.8. Um allgemeinere stereologische Formeln zu bekommen, zumindest für stationäre und isotrope zufällige Mengen und Partikelprozesse, müssen wir geeignete geometrische Funktionale betrachten. Besonders brauchbar sind hier die inneren Volumina, durch die Begriffe wie Volumen und Oberfläche verallgemeinert werden. Sie können für konvexe Körper durch die Steiner-Formel (7.1) und allgemeiner für endhche Vereinigungen konvexer Körper durch einen Fortsetzungsprozeß erklärt werden. Bei der Herleitung stereologischer Formeln werden wir uns der beiden Grundformeln der Integralgeometrie bedienen, der kinematischen Hauptformel und der Crofton-Formel. Beide werden im Anhang (Kapitel 7) kurz vorgestellt, mit Literaturangaben für Beweise. Geometrische Mittelwerte für translationsinvariante Funktionale φ haben wir bei stationären Partikelprozessen in einfacher Weise erklären können (φ-Dichten, siehe (4.19)). Für zufällige Mengen müssen wir eine geeignete Definition noch angeben.

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Copyright information

© B.G.Teubner Stuttgart · Leipzig 2000

Authors and Affiliations

  • Rolf Schneider
    • 1
  • Wolfgang Weil
    • 2
  1. 1.Universität FreiburgGermany
  2. 2.Universität KarlsruheGermany

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