Symbolische Dynamik und Knettheorie

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt soll zunächst für die logistische Abbildung

$${f_a}:x \mapsto ax(1 - x),x \in I = [0,1]$$

(7.1)

für $a > 2 + \sqrt 5$(vergleiche Satz 3.7) gezeigt werden, daß sie auf der Cantor-Menge

$$\wedge_{a}=I\backslash\bigcup^\infty_{n=0}A_n$$

(7.2)

mit

$${A_0} = \{ x \in I|{f_a}(x) > 1\} $$

(7.3)

und

$$A_{n+1}=\lbrace x\in I\mid f_a(x)\in A_n\rbrace\;\;\text f\overset{..}{\text{u}}{\text r}\;n\in\mathbb{N}_o$$

(7.4)

chaotisch ist¹⁾. Dazu basteln wir uns ein symbolisches Modell, das, wie sich bald herausstellen wird, topologisch konjugiert ist zu f_a und eine äquivalente Dynamik aufweist. Zunächst erscheint dieses Modell künstlich, und wir können überhaupt keine Verbindung zur logistischen Abbildung $f_a(a >2+\sqrt5)$ erkennen. Aber je länger wir uns damit beschäftigen, desto klarer wird es, daß solch ein symbolisches Modell die Dynamik von f _a vollständig beschreiben kann und das sogar auf die einfachste mögliche Weise.