Hyperbolische Mengen und homokline Punkte

Zusammenfassung

Beide Stichworte aus der Überschrift sind uns in den Beispielen des 10. Abschnitts bereits begegnet: Das Solenoid ist eine hyperbolische Menge und, wie wir gezeigt haben, ein chaotischer Attraktor, Smales Horseshoe-Abbildung ist chaotisch auf einer maximalen invarianten Menge mit hyperbolischer Struktur, und die hyperbolischen toralen Automorphismen sind, als lineare Spezialfälle der Anosov-Diffeomorphismen, hyperbolisch auf dem gesamten Torus $\mathbb{T}^2$, der andererseits für sie einen chaotischen Attraktor darstellt. Dabei haben wir den Begriff „hyperbolische Menge“ lediglich informell verwendet, um einen all diesen Beispielen gemeinsamen Sachverhalt zu beschreiben, daß nämlich jeder Punkt einer solchen Menge mit einer stabilen und einer instabilen Richtung ausgestattet ist. Dies ist die allen genannten Beispielen gemeinsame Ursache für die Vorgefundene chaotische Dynamik. Die stabilen und die instabilen Mengen eines jeden hyperbolischen Punktes sind in den Beispielen jeweils dicht in den jeweiligen invarianten Grenzmengen, was auf eine äußerst komplizierte Dynamik der Schnittpunkte beider Mengen hinweist. Man bezeichnet letztere als homokline Punkte, die, zum Beispiel für Arnolds cat map, dicht liegen auf dem Torus $\mathbb{T}^2$. Im Gegensatz zu der „geometrisch konstruierten“ chaotischen Dynamik auf hyperbolischen Grenzmengen der bisher genannten Beispiele hat der Hénon-Attraktor vermutlich keine „saubere“ hyperbolische Struktur. Dies hat er gemeinsam mit dem Kasseler Eiffelturm und vergleichbaren Modellen im ℝⁿ für n ≥ 2.