Abstract
To indicate the inability to achieve an enterprise or the futility of some theoretical disquisitions, a range of idiomatic expressions are frequently used in our daily conversation, such as discussing “how many angels can stand on the point of a pin” This saying comes from the long disputes of medieval scholars about angelology, which now appear of modest if not totally irrelevant interest. Another of these expressions, “squaring the circle,” is used as a metaphor for an impossible task, for example, the search for perpetual motion which kept busy so many inventors for centuries. For quite a long time, some of the brightest minds dedicated intense efforts to the attempt to square the circle, i.e., to the construction of a square with the same area as a circle, using only a compass and straightedge and a finite number of operations. This seemingly simple problem challenged generations of mathematicians, professional, as well as amateur, until in 1882 the impossibility of such a construction was finally proven.
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Notes
- 1.
Leonardo used the expressions of bisangoli and falcata o lunole falcate.
- 2.
A website is dedicated to Giorgio Valla: http://www.dm.unipi.it/~tucci.
- 3.
Gardenal G, Landucci Ruffo P, Vasoli PC (1981) Giorgio Valla tra scienza e sapienza, A cura di V. Branca. Firenze, Olschki.
- 4.
Original text: “La notte di Sancto Andre’ trovai il fine della quadratura del cerchio; e ‘nfine del lume e della notte e della carta dove scrivevo, fu concluso; al fine dell’ora”. Codex Madrid II, folio 112r.
- 5.
Bagni GT, D’Amore B (2006). Leonardo e la matematica. Giunti, Firenze.
- 6.
Fenyo IS (1985). Leonardo da Vinci e la matematica. Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano, 54:101–125.
- 7.
Marcolongo R (1939). Leonardo da Vinci. Artista scienziato. Hoepli, Milano.
- 8.
Marcolongo R (1937). Studi vinciani. Memorie sulla geometria e la meccanica di Leonardo da Vinci. Napoli. Stabilimento Industrie Editoriali Meridionali.
- 9.
Marinoni A (1982) La matematica di Leonardo da Vinci. Philips-Arcadia, Milano.
- 10.
Original text: “Nessuna investigazione si può dimandare vera scienza, s’essa non passa per le matematiche dimostrazioni; …. non mi legga chi non è matematico nelli mia principia; nessuna certezza è dove non si può applicare una delle scienze matematiche ove che non sono unite con esse matematiche.”
- 11.
See the chapter: Il libro di Giorgio Valla, in Leonardo e Io. Pedretti C (2008) Mondadori.
- 12.
D’Amore B (2007). Leonardo e la matematica. Giacardi L, Mosca M, Robutti O (eds.) (2007). Conferenze e Seminari 2006–2007. Associazione Subalpina Mathesis – Seminario di Storia delle Matematiche “T. Viola”. Torino: Kim Williams Books.
- 13.
Another possible source, considering that the treatise of Valla was published in Latin in which Leonardo was not exactly at ease despite studies in mature age, is De lunarum squareness of Leon Battista Alberti. The lunulae of Hippocrates can also be found in the book, Euclidis megarensis philosophi acutissimi matermaticorumque omnium fine controversia principis, published in 1509 by Paganino de Paganini in Venice.
- 14.
It is known from a list present in the Codex of Madrid I that Leonardo possessed a copy of a book by Giorgio Valla, although probably it was not his encyclopedia but the treatise Nicephoris de arte disserendi (See: c. Sacker, Per la biblioteca di Leonardo: «Libro di Giorgio Valla». Aevum. Year 74, Fasc. 3 (2000), pages 669–673.
- 15.
Codex Atlanticus, folio 272v. Original text (): “… E perché le circuite da linie curve ci sono in poca notizia, io mi sono affaticato co’ nuova scienza e darne notizia con varie regole, le quali hanno scoperto nuove notizie,….”
- 16.
Original text: “Quadrasi mettendo dentro al quadrilatero ciò che è fuori di lui, cioè le quattro falcate: vaglian le 4 porzioni.”
- 17.
Codex Forster I, folio 3r. The correct Italian word should be Trasformazione; likely this was an orthographic error of Leonardo.
- 18.
Codex Forster I, folio 3r. Original text: “Libro titolato ‘De Strasformazione’ cioè d’un corpo in un altro sanza diminuzione o accrescimento di materia.”
- 19.
Codex Atlanticus, folio 820v. Original text: “....Sia data una quantità di cera e con quella si dia un quadrato, sopra il quale si facia la piramide di 4 lati. Riduci la cera in tavola e quella cuba, e prestale 2 tanti cera, e fanne cilindro tal base e poi hanno il 2/3 prestati e rimarrà la terza base per la piramide proposta.”
- 20.
Codex Forster I, folio 16 r. Original text: “Il corpo pentagonale è composto da 12 b[ase]. La superficie del corpo pentagonale è composta di equali base pentagonali, delle quali base nasce 12 piramide che terminano colle lor punte nel centro del predetto corpo. Risulti adunque la base pentagonale d’una coppia d’esse pira[mide] in cinque triangoli, che s’estendino da 5 lati del pentagolo e terminino nel centro di tal base. Fatto questo, colle prima di sopra...”
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Innocenzi, P. (2019). Mission Impossible: Squaring the Circle. In: The Innovators Behind Leonardo. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-90449-8_14
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