Prognose

Zusammenfassung

Die Berechnung von zuverlässigen Prognosen und eine entsprechende quantitative Analyse der Prognose-Güte ist eine der wichtigsten Anwendungen der Zeitreihenanalyse. Allgemein geht es bei der Prognose darum eine zukünftige Prozessvariable $x_{t+h}$ möglichst gut durch eine Funktion der beobachteten Werte $x_{t},x_{t-1},x_{t-2},\ldots$ zu approximieren. Wir diskutieren hier die lineare Kleinst-Quadrateprognose. Das heißt, wir beschränken uns auf lineare (genauer gesagt affine) Prognosefunktionen und auf den mittleren quadratischen Prognosefehler als Gütekriterium. Wir nehmen auch an, dass wir die Eigenschaften des zugrundeliegenden Prozesses (Erwartungswert und Kovarianzfunktion) exakt kennen. Dieses idealisierte Prognoseproblem lässt sich einfach und elegant mit Hilfe des Projektionssatzes behandeln. Für eine „echte“ Prognose müssen natürlich zunächst die Populationsmomente aus Daten geschätzt werden.

Im ersten Abschnitt dieses Kapitels werden die letzten k beobachteten Werte für die Prognose verwendet. Man spricht daher auch von der Prognose aus der endlichen Vergangenheit. Der Übergang k → ∞, der entsprechend Prognose aus der unendlichen Vergangenheit genannt wird, führt dann zu der sogenannten Wold-Zerlegung von stationären Prozessen. Diese Wold-Zerlegung ist wichtig für die Prognose und darüber hinaus zentral für das Verständnis der Struktur von stationären Prozessen.