Vasiliev’s Clue to Mourdoukhay-Boltovskoy’s Hypersyllogistic

Abstract

In 1926 D.Mourdoukhay-Boltovskoy introduced a hypersillogistic which according to him relates to the traditional syllogistic as a four-dimensional space relates to the three-dimensional space. Unfortunately, his note was too brief to understand the conception introduced. His remark from 1929 in which he refers to N. Vasiliev’s metalogic furnishes the clue to hypersyllogistic. In the paper the semantic of model schemes for hypersillogistic is proposed and some possible translations into traditional syllogistic are discussed.

Appendix

Sur les Syllogismes en logique et les Hypersyllogismes en Métalogique

par D. Mourdoukhay-Boltovskoy

La note tache de construire la Métalogique qui se trouve dans le même rapport à la logique classique, comme l’espace à 4 dimensions à l’espace ordinaire. Les lois de la logique formelle des propositions sont conservés et les lois de la logique des classes remplacés par des lois plus générales. La hyperproposition c’est la relation non de deux, mais de trois termes

|a ^′′ b ^′ c|

l’espèce, le genre et le hypergenre.

Pour une hyperclasse on doit avoir non une seule hyperclasse réciproque (contraire), mais deux $( \underline {a})$, $(\overline {a})$ et pas deux opérations: l’inclusion et l’exclusion, mais trois:

$(\overline { \underline {a}})=a$, $(\overline {\overline {a}})=( \underline {a})$

On doit admettre aussi les hyperpropositions générales négatives:

$|a~ \underline {b}~\overline {c}|$

$|a^{\prime \prime }~b^{\prime }~c|=|a~( \underline {\overline {b}})~(\overline { \underline {c}})|$

$\qquad \qquad \qquad |a~ \underline {b}~\overline {c}|=|a^{\prime \prime }~(\overline {b})^{\prime }~( \underline {c})|$ (obversio)

La hyperproposition particulière affirmative est à 6 termes:

$|\underset {\cdot }{ea}~\overset {\cdot }{fb}~gc|$

et se ramène à l’affirmation de l’existence d’une hyperclasse x telle que

 | x ^′′ e ^′ a x ^′′ f ^′ b x ^′′ g ^′ c |

En vertu de la conversation des lois de la logique des propositions

$|\underset {\cdot }{ea}~\overset {\cdot }{fb}~gc|=|\underset {\cdot }{fb}~\overset {\cdot }{ea}~gc|=\ldots$(conversio).

La hyperproposition négatives c’est:

$|\underset {\cdot }{ea}~\overset {\cdot }{fb}~\overline {gc}|=\begin {vmatrix} x^{\prime \prime } & e^{\prime } & a \\ x^{\prime \prime } & f^{\prime } & b \\ x^{\prime \prime } & \overline {g^{\prime }} & \underline {c}\end {vmatrix}$

$|\underset {\cdot }{ea}~ \underline {\overset {\cdot }{fb}}~\overline {gc}|=\begin {vmatrix} x^{\prime \prime } & e^{\prime } & \underline {a} \\ x^{\prime \prime } & \underline {f^{\prime }} & \overline {b} \\ x^{\prime \prime } & \overline {g^{\prime }} & \underline {c}\end {vmatrix}$

On demontre que

$|\underset {\cdot }{ea}~\overset {\cdot }{fb}~\overline {gc}|=|\underset {\cdot }{fb}~\overset {\cdot }{ae}~\overline {gc}|$

$|\underset {\cdot }{ea}~\overset {\cdot }{ \underline {fb}}~\overline {gc}|=|\underset {\cdot }{ea}~\overset {\cdot }{\overline {gc}}~ \underline {fb}|$

Les lois fondamentales de la métalogique de l’identité

|a ^′′ a ^′ a|

de la contradiction on postule l’impossibilité de

$|a^{\prime \prime }~( \underline {a})^{\prime }~(\overline {a})|$ ou en général $\begin {vmatrix} a^{\prime \prime } & b^{\prime } & c \\ x^{\prime \prime } & (\overline {b})^{\prime } & ( \underline {c}) \\ x^{\prime \prime } & ( \underline {b})^{\prime } & (\overline {c})\end {vmatrix}$

du quatrième exclu On affirme l’existence

|a ^′′ b ^′ c| ou $|a^{\prime \prime }~( \underline {b})^{\prime }~(\overline {c})|$ ou $|a^{\prime \prime }~(\overline {b})^{\prime }~( \underline {c})|$

Il faut ajouter encore

$|a~ \underline {b}~\overline {c}|=|b~ \underline {c}~\overline {a}|=|c~ \underline {a}~\overline {b}|$

La hyperconclusion suppose 3 hyperpremisses. L’operation syllogistique s’exprime par la formule

 | e ^′′ g ^′ c f ^′′ b ^′ d a ^′′ f ^′ e | = |a ^′′ b ^′ c| (∗)

La dégéneration de la Métalogique en logique s’obtient quand $\overline {b}=$ b

|a ^′′ b ^′ c| = |a ^′ b| $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |a~ \underline {b}~\overline {c}|=|a~ \underline {b}~\overline {b}|=|a~~ \underline {b}|$

La partie de la Métalogique correspondante à la logique classique s’occupe des modes des hypersyllogismes en les distribuant dans les types selon les conclusions.

Nous avons un seul hypersyllogisme avec la conclusion gén-aff. (*) qui dégénére en Barbara.

Du hypers. avec conclusion gén-neg qui dégénére en Celarent:

$\begin {vmatrix} f & \underline {g} & \overline {c} \\ e & \overline {b} & \underline {h} \\ a^{\prime \prime } & e^{\prime } & f\end {vmatrix}=\begin {vmatrix} f^{\prime } & (\overline {g})^{\prime } & ( \underline {c}) \\ e^{\prime \prime } & (\overline {b})^{\prime } & ( \underline {h}) \\ a^{\prime \prime } & e^{\prime } & f\end {vmatrix}=|a~(\overline {b})^{\prime }~( \underline {c})|=|a~ \underline {\overline {b}}~ \underline {c}|$

on obtient d’autres modes avec la conclusion du mème type au moyen de conversio. Avec la hyperconclusion part-aff.

$\begin {vmatrix} a^{\prime \prime } & l^{\prime } & k \\ a^{\prime \prime } & h^{\prime } & m \\ \underset {\cdot }{ae} & \overset {\cdot }{fb} & gc\end {vmatrix}=\begin {vmatrix} a^{\prime \prime } & l^{\prime } & k \\ e^{\prime \prime } & h^{\prime } & m \\ p^{\prime \prime } & e^{\prime } & a \\ p^{\prime \prime } & f^{\prime } & b \\ p^{\prime \prime } & g^{\prime } & c\end {vmatrix}=\begin {vmatrix} p^{\prime \prime } & h^{\prime } & k \\ p^{\prime \prime } & f^{\prime } & b \\ p^{\prime \prime } & g^{\prime } & c\end {vmatrix}=|\underset {\cdot }{gc}~\overset {\cdot }{fb}~hk|$

Avec la hypercon. part-négat. (Ferio)

$\begin {vmatrix} a & \underline {l} & \overline {k} \\ e & \underline {h} & \overline {m} \\ \underset {\cdot }{ae} & \overset {\cdot }{fb} & gc\end {vmatrix}=|\underset {\cdot }{fb}~\overset {\cdot }{gc}~\overline {hk}|$

(Bokardo)

$\begin {vmatrix} a^{\prime \prime } & l^{\prime } & k \\ e^{\prime \prime } & h^{\prime } & m \\ \underset {\cdot }{ae} & \overset {\cdot }{fb} & \overline {gc}\end {vmatrix}=|\underset {\cdot }{hk}~\overset {\cdot }{fb}~\overline {gc}|$

qui se ramène à Ferio au moyen des opérations

$\begin {vmatrix} a^{\prime \prime } & l^{\prime } & k \\ e^{\prime \prime } & h^{\prime } & m \\ \underset {\cdot }{ae} & \overset {\cdot }{fb} & \overline {gc}\end {vmatrix}=\begin {vmatrix} a & \underline {\overline {(l)}} & \overline { \underline {(k)}} \\ e & ( \underline {h}) & (\overline {m)} \\ \underset {\cdot }{ea} & \overset {\cdot }{fb} & (\overline {g}~\overline {c})\end {vmatrix}=$ $|\underset {\cdot }{fb}~\overset {\cdot }{( \underline {g}~\overline {c})}~ \underline {(\overline {h}~\overline {k})}|$ etc.

On définit 180 modes, mais il est dificile à prouver que les modes obtenus sont le seuls possibles.