Die natürlichen Zahlen

Zusammenfassung

Die rekursive Definition

$$\displaystyle\underline{n}=\bigl\{\underline{0},\underline{1},\ldots,\underline{n-1}\bigr\}$$

ordnet jeder natürlichen Zahl n eine Menge $\underline{n}$ zu. Es ist zum Beispiel

$$\begin{aligned}\displaystyle\underline{0}&\displaystyle=\emptyset\\ \displaystyle\underline{1}&\displaystyle=\{\emptyset\}\\ \displaystyle\underline{2}&\displaystyle=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\ \displaystyle\underline{3}&\displaystyle=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\end{aligned}$$

Wir schreiben im folgenden $\mathrm{s}(x)$ für den Nachfolger $x\cup\{x\}$ von x. In ZFC ist dann für alle n beweisbar, daß

$$\displaystyle\underline{n+1}=\mathrm{s}(\underline{n}).$$

Man zeigt leicht durch Induktion:

Weil wir noch nicht wissen, wie man rekursive Definitionen in ZFC formalisiert, ist dadurch der formale Begriff natürliche Zahl noch nicht definiert. Wir brauchen dazu: