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Die natürlichen Zahlen

  • Martin Ziegler
Chapter
Part of the Mathematik Kompakt book series (MAKO)

Zusammenfassung

Die rekursive Definition
$$\displaystyle\underline{n}=\bigl\{\underline{0},\underline{1},\ldots,\underline{n-1}\bigr\}$$
ordnet jeder natürlichen Zahl n eine Menge \(\underline{n}\) zu. Es ist zum Beispiel
$$\begin{aligned}\displaystyle\underline{0}&\displaystyle=\emptyset\\ \displaystyle\underline{1}&\displaystyle=\{\emptyset\}\\ \displaystyle\underline{2}&\displaystyle=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\ \displaystyle\underline{3}&\displaystyle=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\end{aligned}$$
Wir schreiben im folgenden \(\mathrm{s}(x)\) für den Nachfolger \(x\cup\{x\}\) von x. In ZFC ist dann für alle n beweisbar, daß
$$\displaystyle\underline{n+1}=\mathrm{s}(\underline{n}).$$
Man zeigt leicht durch Induktion:

Weil wir noch nicht wissen, wie man rekursive Definitionen in ZFC formalisiert, ist dadurch der formale Begriff natürliche Zahl noch nicht definiert. Wir brauchen dazu:

Copyright information

© Springer International Publishing Switzerland 2017

Authors and Affiliations

  • Martin Ziegler
    • 1
  1. 1.Mathematisches InstitutUniversität FreiburgFreiburgDeutschland

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