Lines on the Horizon

Guerraggio, Angelo; Jaëck, Frédéric; Mazliak, Laurent

doi:10.1007/978-3-319-40082-2_6

Angelo Guerraggio⁵,
Frédéric Jaëck⁶ &
Laurent Mazliak⁷

Part of the book series: Trends in the History of Science ((TRENDSHISTORYSCIENCE))

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2 Citations

Abstract

This chapter provides a detailed examination of the manner in which elements drawn from a reading of Volterra’s work on the generalization of the concept of function and differential calculus became decisive for the research programs of first Hadamard and then Fréchet , and how this passing of the baton to a new generation marked a turning point in the evolution of studies on partial differential equations, and more broadly, for all of twentieth-century functional analysis.

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Notes

1.
For the history of this very important chapter in the development of integration, see the fine work by Hawkins (2001).
2.
This publication provided the occasion for Volterra to begin an important correspondence with Gösta Mittag-Leffler (1846–1927), who had founded the journal Acta Mathematica in 1882 and directed it energetically for almost half a century. A study of this correspondences (see Nastasi and del Colombo 2015), which was most frequent in the years 1888–1892, offers a very vivid picture of the young Volterra’s boundless activity.
3.
We must emphasize here the scope of this statement, which does not produce a generality that will only be arrived later. Volterra’s terms are intended to define the continuity of the functional in the case of continuous functions in [ab]. In other words, the set of continuous functions should not be thought of here as an archetype of a more general abstract space.
4.
diremo che y è continua se, data a $ \varphi (x) $ una variazione $ \psi (x) $ tale che invalore assoluto $ \psi (x) $ sia sempre inferiore ad $ \epsilon $, la variazione corrispondente di $ y $ può rendersi inferiore a $ \delta $, piccolo ad arbitrio.
5.
In 1887 Volterra introduced the notation $ y|[\mathop {\varphi (\,x)}\limits_{B}^{A} ,t]| $, which we simplify as $ y[\varphi (x),t] $ in our commentary.
6.
On Joseph Pérés (1890–1962), see Mazliak and Tazzioli (2009).
7.
These representational issues also arise in connection with specific works in the context of functional calculus, as in the case of the studies by René Gateaux (1889–1914), as well as those by Paul Lévy (1886–1971) in potential theory, introducing a notion of differential engendered by a variation of the independent variable in a given direction $ \psi $. On this exciting chapter linking functional calculus and probability theory, see Mazliak (2015a) and Barbut (2013). We see in Barbut (2013) that when Levy began a correspondence with Fréchet after World War I, he never misses a chance to voice strong criticism of the narrow framework proposed by Volterra for the derivation of higher-order functionals. Younger by almost 30 years, Levy was probably not in position to fully comprehend how radically novel the older mathematician’s approach was at the time it appeared.
8.
Alcune considerazioni le quali servono a chiarire dei concetti che credo necessari introdurre per una estensione della teoria di Riemann sulle funzioni di variabili complesse, e che penso possano tornar giovevoli anche in varie altre ricerche.
9.
Infatti in molte questioni di Fisica e di Meccanica, e nella integrazione di equazioni differenziali alle derivate parziali, capita di dover considerare delle quantità che dipendono da tutti i valori che una o più funzioni di una variabile prendono in dati intervalli Cos per esempio la temperatura in un punto di una lamina conduttrice dipende da tutti i valori che la temperatura ha al contorno … (Volterra 1887c, p. 294).
10.
The notion of line covers several aspects that will be evoked via Volterra’s texts in the what follows. Although at the time line could be interpreted as a function with values in the plane, with varying properties and regularity, Volterra makes very little appeal to this parametric version. For him the line is primarily manipulated as a geometric, almost physical object, for which he will define an operation of addition (the piecing together of two lines) and conceive a notion of neighborhood (word belonging to the vocabulary of an observer) that does not rely on parameterisation.
11.
una tale idea è familiare ai fisici; essa si presenta spontaneamente quando si pensa a certi fenomeni elettrici (…) Per alcuni studi, che spero di poter comunicare quanto prima giova considerare le funzioni delle linee di un campo a tre dimensioni.
12.
The difficult relationship between Peano and Volterra forms an explosive chapter of Italian mathematics in that period. For more on this, see Guerraggio and Paoloni (2013), pp. 36–42.
13.
This is the first of a series of three notes (Volterra 1887c, d, e) on this subject published between 1887 and 1888.
14.
Dans la théorie des fonctions d’une variable imaginaire, on suppose, en quelque sorte, que les valeurs des variables imaginaires sont étendues sur une surface, avec la condition que les rapports différentiels des variables ne dépendent que des points de la surface… Est-ce qu’on peut généraliser cette théorie en se rapportant à un espace à trois dimensions? Voilà le problème que je me suis proposé. On peut résoudre la question, mais pour l’aborder il faut recourir à ce que je viens d’appeler les fonctions d’une ligne… A quelle théorie connue va se rattacher la généralisation dont je viens de parler? Il est bien aisé de montrer qu’elle se rattache à la théorie des fonctions de plusieurs variables imaginaires. Il y a presque une année, M. Poincaré , en généralisant le théorème de Cauchy, à démontré que l’intégrale d’une fonction uniforme de deux variables imaginaires prise sur une surface fermée est nulle, si l’on peut déformer et réduire la surface à un point sans rencontrer de singularités. On peut déduire de là que, si la surface d’intégration n’est pas fermée, l’intégrale dépend des lignes qui forment le contour de la surface. Donc on voit que l’intégration des fonctions de deux variables conduit aux fonctions des lignes.
15.
Il procedimento Jacobi-Hamilton si fonda sull’esame dell’integrale semplice (di cui si vuole annullare la variazione) considerato come funzione dei suoi limiti e dei valori assegnati ad arbitrio alle funzioni incognite nei limiti stessi (…). Se si passa dagli integrali semplici al caso degli integrali doppi, invece dei due limiti dell’integrale, abbiamo una o più linee che formano il contorno del campo di integrazione.
16.
A questo riguardo sono ben lieto di poter presentare all’Accademia l’estratto di due lettere che il nostro illustre corrispondente signor PICARD mi ha dirette in seguito alla comunicazione fattagli delle precedenti proposizioni e che egli mi autorizza a pubblicare:’ …je crois reconnaître dans la question que vous m’indiquez quelque chose qui doit avoir un rapport avec une étude que j’avais commencée mais que je n’ai pas approfondie et que je n’ai pas non plus publiée.’
17.
Aux yeux de Lamé , la science était une, et les rapprochements, même dans les seules formules, entre des théories encore distinctes étaient l’indice certain d’une doctrine plus générale qui doit un jour les embrasser toutes. La distinction entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées était, à ses yeux, dangereuse et fausse.
18.
Clapeyron , who had been close to the movement leading to the Decembrist Revolt in 1825, had been, like Lamé, forced to flee from the repression of the Saint-Simonians, and returned at about the same time.
19.
Nel tomo $ 2^{o} $ delle belle lezioni sulla teoria generale del sig. Darboux e nell’ultima Memoria del Du Bois Reymond , inserita nel 104o volume del Giornale di Crelle, sono contenuti risultati di grande importanza per la teoria delle equazioni lineari a derivate parziali del 2o ordine con due variabili indipendenti $ x,y $. In particolare per le equazioni del tipo iperbolico, nelle quali cioè i due sistemi di linee caratteristiche sono reali e distinti, viene dimostrato il teorema fondamentale, secondo il quale in ogni quadrilatero racchiuso sul piano $ xy $ da quattro caratteristiche, fissati i valori che l’integrale assume lungo due lati adiacenti del quadrilatero, risultano individuati i valori dell’integrale stesso in tutta la regione interna del quadrilatero [Darboux, $ {\S} $ 364; Du Bois Reymond $ {\S} $ 15]. A questo teorema fa riscontro, per le equazioni del tipo ellittico (a caretteristiche immaginarie), l’altro che i valori assunti dall’integrale nell’interno di un campo connesso sono generalmente individuati dai valori che l’integrale riceve sul contorno del campo. Alcune semplici osservazioni contenute nella presente Nota permettono appunto di stabilire con molta generalità questo risultato. Il processo stesso è immediatamente estendibile, come si vedrà, al caso di un numero qualunque di variabili independenti. Però non viene qui affatto trattata la questione molto più difficile se tali valori al contorno possano darsi effettivamente ad arbitrio, questione che, salvo pochi casi particolari, non sembra per ora prossima a risolversi.
20.
The principle of maximum work had been stated by Berthelot in 1879 in his Essai de Mécanique chimique fondé sur la thermochimie Berthelot (1879): ‘Tout changement chimique accompli sans l’intervention d’une énergie étrangère tend vers la production du corps ou du système de corps qui dégage le plus de chaleur.’
21.
In particular, see Jacki (1894) which gives a very vivid picture of Duhem ’s philosophical-political position.
22.
Developed further in Padova (1891).
23.
Duhem’s scientific correspondence is found in the Archives of the Paris Académie des Sciences.
24.
Qu’on ne puisse, parce qu’une théorie mécanique explique suffisamment bien certains faits, dire: les choses se passent ainsi ! voilà comment est constituée la matière ! c’est parfaitement juste et vous avez bien raison de combattre cette vanité ou présomption humaines, mais cela n’empêche pas qu’aux théories mécaniques n’appartienne une place bien plus importante qu’aux théories purement physiques dans la découverte des phénomènes naturels …Il y a dans beaucoup d’analystes aujourd’hui une tendance à rejeter en bloc ces théories et je crains qu’elle ne finisse par creuser un ab me entre eux et les physiciens. …En disant: si un phénomène comporte une explication mécanique complète, il en comportera une infinité d’autres qui rendront également bien compte de toutes les particularités révélées par l’expérience, M. Poincaré , tout en énonçant un fait vrai ne jette-t-il pas de discrédit sur toutes les interprétations mécaniques?
25.
Volterra and Duhem ’s correspondence is found in the archives of the Académie des Sciences de Paris and in the archives of the Accademia dei Lincei.
26.
Vous avez montré qu’il n’y a que deux cas à l’équation générale des vibrations élastiques

$$ \frac{{\partial^{2} V}}{{\partial t^{2} }} = A^{2} \sum\limits_{1}^{m} \frac{{\partial^{2} V}}{{\partial x_{i}^{2} }}\quad(1)$$

possède des intégrales de la forme

$$ V = \psi F(r - At) \quad(2)$$

où $ F $ est une fonction arbitraire et $ \psi $ est une fonction de $ r $ seulement. Ce sont les cas où $ m = 1,m = 3 $. Le premier correspond au problème des cordes vibrantes. Le second à la question des ondes sphériques dans l’espace à 3 dimensions. Puisque la formule de Kirchhoff est fondée sur l’existence de l’intégrale (2) dans le cas $ m = 3 $ on doit conclure qu’on ne peut pas procéder de la même façon pour trouver une formule analogue dans le cas des ondes cylindriques ou des membranes élastiques, et pour généraliser les mêmes formules pour les vibrations dans un espace à $ m $ dimensions. Depuis quelque temps, j’ai tâché d’obtenir des formules qui, n’ayant pas la même forme que celle de Kirchhoff pouvaient la substituer dans le cas des ondes cylindriques et en avoir la même signification et étendre le résultat au cas général. En poursuivant ce but, j’ai vu que si l’on ne pose pas la condition que $ \psi $ soit une fonction de $ r $ seulement, on peut trouver des intégrales de l’équation (1) ayant la forme (2), mais j’ai démontré que (en dehors des cas $ m = 1,m = 3 $) la fonction $ \psi $ doit avoir des singularités (polydromie etc.) telles qu’en partant de ces intégrales et en employant la méthode de Kirchhoff, on trouve des résultats qui diffèrent substantiellement de ceux de Kirchhoff. Par là on ne peut donc atteindre le but. C’est pourquoi j’ai essayé un autre chemin.
27.
Volterra ’s results on this type of PDE were later extended to the case of any dimension by Orazio Tedone (1870–1922) in several publications between 1893 and 1898 (see in particular Tedone 1898). Volterra’s approach was taken in the case of non-constant coefficients by Jean-Marie Le Roux (1863–1949) in his thesis of 1895 (LeRoux 1895) and a newcomer from Bordeaux, Joseph Coulon (dates unknown), whose article (Coulon 1898) was published in 1898, generalizing Tedone’s results for the heat equation to equation

$$ \frac{{\partial^{2} U}}{{\partial x_{1}^{2} }} + \cdots + \frac{{\partial^{2} U}}{{\partial x_{p}^{2} }} - \frac{{\partial^{2} U}}{{\partial y_{1}^{2} }} - \cdots - \frac{{\partial^{2} U}}{{\partial y_{q}^{2} }} = 0. $$

These works were in turn later extended by the research of Robert d’Adhémar (1874–1941) in Adhémar (1901), d’Adhémar (1902) et d’Adhémar (1902). On these subjects, see Freda (1937). As for Coulon , an ecclesiastic, he discussed his thesis (on the integration of second-order partial differential equations by the method of characteristics) in Paris in 1902, then went to Fribourg in Switzerland to direct the French section of the Collège Saint-Michel.
28.
Je ne connais rien d’analogue au travail dont vous me parlez; j’ajouterai qu’il me para t extrêmement intéressant; le caractère exceptionnel que j’avais reconnu aux deux cas $ n = 1,n = 3 $ m’avait vivement frappé, et je désirais beaucoup une connaissance plus approfondie du cas général; mais comme je ne suis nullement mathématicien, je ne pouvais songer à élucider moi-même cette difficile question. J’avais récemment poussé mon ami Paul Painlevé , dont le nom ne vous est certainement pas inconnu, à s’occuper de cette question. Il n’avait pas encore eu le temps d’y songer. Tout cela vous marque suffisamment combien de plaisir et d’intérêt me causera votre mémoire lorsque vous l’aurez publié.
29.
La formule de Kirchhoff avec les transformations qu’il faut lui faire subir lorsqu’on veut l’étendre soit à l’équation $ \frac{{\partial^{2} V}}{{\partial x^{2} }} + \frac{{\partial^{2} V}}{{\partial y^{2} }} = a^{2} \frac{{\partial^{2} V}}{{\partial t^{2} }} $ soit aux équations de Lamé, me semblent être une des plus belles conquêtes qui aient été faites depuis longtemps dans le domaine des équations aux dérivées partielles du second ordre. Si Kirchhoff a été un grand novateur, vous pouvez cependant, ce me semble, réclamer une belle part de ces nouvelles conquêtes. Recevez donc mes bien sincères félicitations. [P. Duhem à V. Volterra , 28 novembre 1892].
30.
See the next section.
31.
On Jules Houël in Bordeaux, see Vezes (1906) and Plantade (2014).
32.
Pour ma part notre réunion à la Faculté des Sciences de Bordeaux me procura la rare fortune [de] compléter la lecture [du cours de Duhem ] par de précieux et continuels échanges de vues. A cette lecture, je dois la plus grande partie de mes travaux ultérieurs tous consacrés au Calcul des variations, à la théorie d’Hugoniot, aux équations aux dérivées partielles hyperboliques, au principe de Huygens.
Duhem lui-même revenait sur presque toutes ces questions, dans la suite de son immense labeur, et la plupart des théories qu’il avait si heureusement et si lumineusement exposées lui suggérèrent ici des remarques de détail, là des compléments d’une importance fondamentale.
33.
Si les relations personnelles qui se sont nouées à Zürich devaient s’éteindre pendant trois ans ou plus, le plus grand et le plus agréable des avantages des Congrès serait perdu. Mais je compte bien qu’il n’en sera pas ainsi pour nous. (Borel à Volterra , 14 novembre 1897).
34.
We obviously use modern terminology here. One can recognize an origin of the questions of precompacity which Fréchet will consider some years later, as we shall see in the next part.
35.
Hadamard ’s criticism was based on the fact that in its original version, the principle enunciated by Huygens in fact implies that every point is at rest after the passage of the wave, which is a specific property of the equations in an odd-numbered dimension of space (such as the spherical case considered by Kirchhoff ), since the integral expression of the solution is related to a sphere of radius $ at $. In the case of even-numbered dimensions, to the contrary, the integral formula that extends to the entire interior of the ball prevents the point from ever returning to a state of rest and therefore makes it subject to a residual motion which gives the article its title.
36.
The correspondence between Hadamard and Volterra is conserved in the Archives of the Accademia dei Lincei, Rome.
37.
Je vous ai écrit à Turin, ne sachant si vous êtes déjà installé à Rome et j’espère que ma lettre vous joindra quand même. Elle a pour but de vous prier de vouloir bien m’envoyer ou, mieux encore, envoyer à M. Duporcq , secrétaire du Congrès, 162 boulevard Péreire à Paris, le texte de la communication que vous avez faite sur les équations à caractéristiques réelles, et que nous voudrions bien avoir pour les comptes-rendus du congrès.
Je suis heureux d’avoir cette occasion de me rappeler à votre souvenir et vous prie de recevoir, avec tous mes respects pour Madame Volterra, l’assurance de mes sympathiques sentiments.
38.
It is important to place this discussion in its proper context, to recall that here we are still several years before Fréchet established the notion of differential precisely to deal with this type of situation.
39.
The Green’s function $ g $ associated with the Laplacian $ \Delta $ in a domain $ D $ is defined by means of the impulse responses defined on the domain. Taking as an argument a pair of points $ (A,B) $ of the domain $ D $, $ g(A,B) $ (in Hadamard ’s (notation $ g_{A}^{B} $) denotes the value in $ B $ of the harmonic function in the domain deprived of point $ A $, null on the boundary and infinite in $ A $. It was introduced in 1830 by George Green to obtain by convolution with a function $ f $ the solution of the equation $ \Delta u = f $. In the modern approach to linear PDEs in the framework of the theory of distributions, it is generally preferred to use the concept of fundamental solution, which is closely connected to it (see Taylor 2011, p. 241ff).
40.
J’ai toujours oublié de vous demander ce que vous avez l’intention de traiter au Congrès de Heidelberg (Section des mathématiques appliquées). Puis-je vous demander de me renseigner sur ce point, afin que je n’aille point sur vos brisées?
Recevez avec mes excuses pour le dérangement que je vous cause l’assurance de mes sentiments bien dévoués.
41.
Volterra refers to Hadamard (1903).
42.
Je vous remercie beaucoup de votre aimable lettre. J’ai l’intention de dire quelques mots au congrès de Heidelberg sur la théorie des ondes. Le sujet est si vaste que je suis sûr que si vous voulez parler aussi du même sujet il n’y aura pas que des interférences entre les deux communications.
Voilà à peu près quel est mon programme. Je commence par chercher si les limites de ce qu’on appelle théorie des ondes sont bien marquées et je pense le [traiter en?] quelques questions. Je tâche après de montrer quelques lemmes que je crois trouver dans la théorie analytique de la double distribution et je tâche de comparer la méthode de Kirchhoff avec la méthode de Mme Kovalevski .
Par rapport aux vibrations des membranes j’ai enseigné cette année dans mon cours qu’on peut employer la méthode des images lorsque la membrane est rectangulaire et que d’autres cas où elle est limitée par des lignes droites (vous avez déjà touché ce sujet dans votre note). Je désire faire la remarque que cette méthode donne des résultats beaucoup plus simples dans les problèmes analogues de la chaleur et de l’électricité car on ne tombe pas sur des séries. Cela arrive en général pour les équations de type hyperbolique.
Je ne manquerai pas de noter à ce propos votre note de la Société math. de France de 1903 où vous employez la méthode des ondes. Si j’aurai le temps je voudrais toucher à une relation entre les vibrations des membranes et la théorie des ondes. Peut être le programme est trop vaste. Si vous voulez bien me faire quelques remarques je vous en serai fort obligé.
Je serai heureux de vous voir à Heidelberg. Mme Volterra m’accompagne et elle sera heureuse d’y rencontrer Mme Hadamard.
43.
An overwhelming expression of friendship is shown during the tragic moments that Borel and Hadamard went through during World War II (see Mazliak and Tazzioli 2009). Further, when Volterra was in the grips of a struggle with the Fascist regime in 1930, Borel and Hadamard did everything they could to aid him.
44.
‘Puisque vous avez mis la main sur le sujet, je vous l’abandonne’ (since you have put your hand to the subject, I leave it to you); this is how Lévy described Hadamards’s reaction in his autobiography Lévy (1970) (p. 42).
45.
See Mazliak (2015b) and also what was said by Hadamard in his talk at the Bologna congress in 1928 (Hadamard 1928a, p. 152). For more details on Lévy’s work, see also Barbut (2013), Sect. 6.
46.
La physique mathématique conduit à l’étude de fonctions beaucoup plus générales que les fonctions dépendant de la valeur d’une ou de plusieurs variables (fonctions que j’appellerai ordinaires). Je veux parler des expressions qui ne sont déterminées que par la connaissance de toutes les valeurs d’une ou de plusieurs fonctions ordinaires.
47.
Nous nous bornerons au cas des fonctions $ U_{L} $ dont la valeur varie seulement avec la forme d’une ligne $ L $ plane ou gauche, continue, fermée et dont la tangente varie d’une manière continue, sauf en des points isolés en nombre fini.
48.
The reader can consult the course of Joseph Alfred Serret (1819–1885) (Serret 1868), published the first time in 1868 and reprinted many times thereafter, for an overview of notations and definitions of the terms ‘derived’, ‘augmented,’ ‘differential’, etc. in use at the time for ordinary functions. The texts of Volterra , Hadamard or Fréchet never redefine these concepts, which they use in new, different contexts. We must precisely distinguish and analyse them. In particular here $ \delta U_{L} $ denotes the differential relative to the parameter $ \alpha $ (see Chap. XII of Serret 1868).
49.
Considérons une famille $ G $ de ces lignes, dépendant d’un paramètre $ \alpha $ de façon que, si $ \alpha $ tend vers $ \alpha_{0} $, $ L $ tende uniformément en tous ses points vers les points correspondants de $ L_{0} $. Pour ces lignes $ L $, $ U_{L} $ sera une fonction de $ \alpha $ et nous ajoutons l’hypothèse que ce soit une fonction continue et dérivable en $ \alpha $. Dans ces conditions, nous pourrons parler, comme dans le calcul des variations, de la variation première de $ U_{L} $ : $ \delta U_{L} $ (On peut consulter le cours de Joseph-Alfred Serret (1819–1885) (Serret 1868) publié pour la première fois en 1868 et réédité à de nombreuses reprises par la suite pour avoir un aperçu des notations et des définitions de dérivée, accroissement, différentielle etc. en usage à l’époque pour les fonctions ordinaires. Les textes de Volterra, Hadamard ou Fréchet ne redéfinissent pas ces notions qu’il nous faut précisément distinguer et analyser ici. En particulier ici $ \delta U_{L} $ désigne la différentielle relative au paramètre $ \alpha $ (cf. Ch XII de Serret (1868))), laquelle dépend, bien entendu, de la famille $ G $ considérée.
50.
For an overview of the issues at the core of the research discussed here, one can see Hadamard’s 1898–1899 course at the Collège de France, published in 1903 (Hadamard 1901). It may be interesting to read in parallel the Leçons sur le calcul des variation (Hadamard 1910) published later, in 1910, which gives an broader panorama of the questions embraced by this term at the beginning of the twentieth century.
51.
Nous appellerons donc fonction de Volterra , ou fonction $ ({\mathcal{V}}) $, toute fonction de ligne fermée, $ U_{L} $, satisfaisant aux conditions que nous avons posées au n. 1 et telle que l’on ait

$$ \delta U_{L} = \int_{L} (U^{\prime}_{x} \delta x + U^{\prime}_{y} \delta y + U^{\prime}_{z} \delta z)ds, $$

$ U_{{x^{\prime}}} $, $ U_{{y^{\prime}}} $, $ U_{{z^{\prime}}} $ étant des quantités déterminées en chaque point $ M $ de toute ligne fermée $ L $.
52.
Rappelons, pour le généraliser, un théorème de M. Volterra . Désignons avec lui par $ L + L^{\prime} $ un contour fermé (pouvant comprendre plusieurs courbes fermées) et constitué par les contours $ L $ et $ L^{\prime} $, où l’on a supprimé les parties communes (s’il en existe) parcourues en sens contraire (car $ U_{L} $ dépend en général du sens de parcours de $ L $). M. Volterra a démontré que les fonctions du premier degré sont les seules fonctions $ ({\mathcal{V}}) $ qui vérifient l’équation fonctionnelle

$$ U_{{L + L^{\prime}}} = U_{L} + U_{{L^{\prime}}} . $$

Plus généralement, nous allons montrer que les fonctions simples sont les seules fonctions $ ({\mathcal{V}}) $ qui vérifient l’équation fonctionnelle

$$ U_{{L + L^{\prime}}} = \varphi (U_{L} ,U_{{L^{\prime}}} ), $$

$ \varphi $ étant une fonction ordinaire (continue et dérivable) de $ U_{L} $ et $ U_{{L^{\prime}}} $.
53.
On sait l’importance qu’il y aurait, dans un grand nombre de problèmes, à savoir si une quantité $ U $ dépendant de certains éléments (points, fonctions, etc.) atteint effectivement un minimum dans le champ considéré. Le principe de Dirichlet offre une des justifications les plus frappantes de cette remarque…
54.
La question est résolue dans le cas particulier où $ U $ est une simple fonction de $ x $ (ou de plusieurs variables indépendantes). Weierstrass a en effet démontré que toute fonction continue dans un intervalle limité y atteint au moins une fois son maximum.
55.
Care must be taken not to attribute a modern meaning to the term “class” (catégorie). Here ‘class’ is used to form a certain typology. It follows that in this statement a set is formed of elements of a certain determined type (‘numbers’, or ‘surfaces’, etc.).
56.
Nous supposons donnée une certaine catégorie $ C $ d’éléments quelconques (nombres, surfaces, etc.), dans laquelle on sache discerner les éléments distincts. Nous pourrons dire que $ U_{A} $ est une fonction (ou opération fonctionnelle) uniforme dans un ensemble $ E $ d’éléments de $ C $, si à tout élément $ A $ de $ E $ correspond un nombre bien déterminé $ U_{A} $.
57.
Pour arriver à la notion de continuité d’une telle fonction, nous supposerons acquise une définition qui donne un sens précis à cette phrase: la suite infinie $ A_{1} ,A_{2} , \ldots ,A_{n} , \ldots $ d’éléments de $ C $ a une limite $ B $. Il nous suffira que cette définition, d’ailleurs quelconque, satisfasse aux deux conditions suivantes: $ 1^{ \circ } $ si la suite $ A_{1} ,A_{2} , \ldots ,A_{n} , \ldots $ a une limite, toute suite $ A_{{p_{1} }} ,A_{{p_{2} }} , \ldots ,A_{{p_{n} }} , \ldots $ formée d’éléments d’indices croissants de la première suite a aussi une limite qui est la même : $ 2^{ \circ } $ si aucun des éléments $ A_{1} ,A_{2} , \ldots ,A_{n} , \ldots $ d’une suite quelconque n’est distinct de $ A $, cette suite a une limite qui est $ A $.
58.
Nous appellerons ensemble compact tout ensemble $ E $ tel qu’il existe toujours au moins un élément commun à une suite infinie quelconque d’ensembles $ E_{1} ,E_{2} , \ldots ,E_{n} , \ldots $ contenus dans $ E $, lorsque ceux-ci (possédant au moins un élément chacun) sont fermés et chacun contenu dans le précédent.
59.
THÈORÈME. Toute opération fonctionnelle $ U_{A} $ uniforme et continue dans un ensemble compact et fermé $ E $ : $ 1^{ \circ } $ est bornée dans $ E $; $ 2^{ \circ } $ y atteint au moins une fois sa limite supérieure.
60.
Nous dirons qu’une opération fonctionnelle $ U $ est définie dans un ensemble $ E $ d’éléments de nature quelconque (nombres, courbes, points, etc.) lorsqu’à tout élément $ A $ de $ E $ correspond une valeur numérique déterminée de $ U $ : $ U(A) $. La recherche des propriétés de ces opérations constitue l’objet du Calcul Fonctionnel.
61.
Nous dirons qu’une opération fonctionnelle $ V $ uniforme dans un ensemble $ E $ d’éléments d’une classe $ (L) $ est continue dans $ E $, si, quel que soit l’élément $ A $ de E limite d’une suite d’éléments $ A_{1} ,A_{2} , \ldots ,A_{n} , \ldots $ de $ E $, on a toujours:
$ V(A) = \mathop {\lim }\limits_{n = \infty } V(A_{n} ). $
62.
Nous dirons alors qu’une classe $ (Y) $ admet une généralisation du théorème de CAUCHY si toute suite d’éléments de cette classe, qui satisfait aux conditions de CAUCHY, a un élément limite (nécessairement unique).
63.
Dans la plupart des démonstrations des théorèmes connus, la propriété b) de l’écart intervient dans les raisonnements. Cependant la théorie développée dans ce Chapitre montre qu’elle n’est pas indispensable et qu’il suffit de se servir du voisinage sans avoir besoin pour cela de compliquer notablement le raisonnement.
64.
The quote is taken from that report (1934), which is conserved in the Archives of the Académie des Sciences in Paris.
65.
M. Fréchet nous a appris à raisonner sur des ensembles entièrement abstraits, c’est-à-dire composés d’éléments sur lesquels on ne fait, tout au moins en commençant, aucune hypothèse. Il va d’un coup à l’extrême généralité, une généralité qui, par définition, ne pourra jamais être dépassée.
66.
These notes are of utmost importance for understanding the evolution of ideas in the birth of functional analysis. For a precise analysis of the elements involved in this perspective, see JaËck (2010).
67.
Nous dirons qu’une opération est définie si l’on fait correspondre un nombre réel déterminé et fini $ U_{f} $ à toute fonction $ f(x) $ réelle et continue entre deux nombres fixes $ a $ et $ b $. Nous appellerons avec M. Hadamard opération linéaire toute opération qui jouit de deux propriétés suivantes:
1. (1)
  elle est distributive, c’est-à-dire que si $ f_{1} $ et $ f_{2} $ sont deux fonctions continues entre $ a $ et $ b $, on a toujours
  $$ U_{{f_{1} + f_{2} }} = U_{{f_{1} }} + U_{{f_{2} }} $$
2. (2)
  elle est continue, c’est-à-dire que $ U_{{f_{1} }} $ tend vers $ U_{{f_{2} }} $ lorsque la fonction $ f_{1} $ tend uniformément vers la fonction $ f_{2} $ entre $ a $ et $ b $.
68.
Définition du champ. Considérons un champ de fonctions de la variable $ x $ définies dans l’intervalle $ (0,2\pi ) $. Je supposerai que si deux fonctions appartiennent au champ, il en est de même de leur somme. A toute fonction du champ, $ f(x) $, nous pourrons faire correspondre un nombre bien déterminé $ U_{f} $. Nous définirons ainsi une opération dans ce champ de fonctions. Nous dirons que cette opération est distributive, si quelles que soient les fonctions $ f_{1} (x) $, $ f_{2} (x) $ du champ, on a:

$$ U_{{f_{1} }} + U_{{f_{2} }} = U_{{f_{1} + f_{2} }} $$

On en conclut en particulier que l’on a pour toute opération distributive:

$$ cU_{f} = U_{cf} $$
quelle que soit la constante rationnelle $ c $. Pour que cette relation ait lieu même pour $ c $ irrationnel, il suffit que $ U_{f} $ satisfasse à une certaine condition complémentaire. Nous allons énoncer plus loin cette condition complémentaire, mais nous l’énoncerons d’une manière particulière pour chacun des champs de fonctions que nous allons examiner.
69.
On this subject, see Brechenmacher (2014).
70.
For more on this, see Mazliak (2015b).
71.
For this, we refer to Mazliak and Tazzioli (2009).
72.
One in fact finds this on p. 845, and this is probably a slip of the pen in Fréchet’s letter.
73.
Monsieur et cher collègue
Comme vous publiez un livre sur les fonctions de lignes, j’aurais voulu pouvoir vous envoyer deux articles que j’ai écrit à ce sujet. Malheureusement l’un sous presse tarde à paraitre, l’autre n’est pas encore imprimé. Le premier est d’ailleurs le développement de deux notes parues dans les Comptes Rendus de l’Ac. des Sc. de Paris (1911, tome 152, pp 854 et 1050) ou plutôt des parties de ces deux notes relatives au Calcul Fonctionnel.
Peut-être vous intéresserait-il que j’en résume l’essentiel. Si par hasard ces réflexions vous intéressaient, je pourrais vous envoyer le manuscrit de ma note au Congrès des Soc. Savantes de 1912 qui déjà imprimée comme je le disais plus haut n’est pas encore parue. Elle a 19 pages.
74.
Pour arriver à généraliser les théorèmes du calcul différentiel, il faut généraliser d’abord la notion de dérivée où de différentielle. On pourrait se baser, pour effectuer cette extension, sur la méthode employée dans le Calcul des Variations, qui n’est qu’un chapitre du Calcul Fonctionnel.
C’est la voie suivie par M. Volterra, qui a eu le mérite de développer le premier une théorie cohérente du Calcul Différentiel Fonctionnel. Elle consiste à opérer avec la variation de la fonctionnelle au sens où on entend ce mot dans le Calcul des Variations. Soit la fonctionnelle $ U_{f} $ définie dans le champ des fonctions continues dans un intervalle donné $ I $. M. Volterra considère le cas où la quantité $ U_{f(x) + \epsilon \varphi (x)} $ a une différentielle par rapport à $ \epsilon $ pour $ \epsilon = o $ : cette différentielle sera par définition la variation de $ U_{f} $ pour l’argument $ f(x) $. Il remarque que, sous certaines conditions simples, cette variation est de la forme

$$ \epsilon \int_{a}^{b} \varphi (y)k(y)dy $$

$ k(y) $ étant une fonction indépendante de $ \varphi (y) $.
Mais M. Hadamard a fait observer que déjà le Calcul des Variations nous offre l’exemple de fonctionnelles très simples dont la variation ne peut se mettre sous cette forme. Il réduit donc la condition de Volterra à celle-ci : la variation de $ U_{f} $ doit être simplement une fonctionnelle linéaire […] par rapport à l’accroissement $ \epsilon \varphi (x) $ de l’argument $ f(x) $.
C’est là l’indication essentielle qui formera mon point de départ. Cependant il me parat nécessaire de faire découler l’existence de la variation de celle de la différentielle et par conséquent de définir d’abord la différentielle d’une fonctionnelle.
75.
J’espère aussi que vous aurez corrigé ce que vous avez dit par rapport aux points singuliers. Je tiens beaucoup à ce point que j’ai mis en évidence depuis mes premiers mémoires de 1887.
76.
Aperçu historique
Le premier essai pour appliquer aux fonctionnelles les procédés du Calcul Différentiel semble être dû à M. Volterra. […]
M. Volterra ne manqua pas de remarquer qu’une telle définition n’était pas entièrement satisfaisante, puisqu’elle laisse de côté une grande partie des expressions qui interviennent dans le Calcul des Variations, à savoir celles des variations des intégrales définies où les limites ne sont pas fixes. De telles variations comportent en effet, outre une intégrale définie de la forme (1) [$ \delta U_{L} = \int_{L} U_{L,x} \delta ydx $], des termes finis aux limites. Il convint donc d’ajouter au second membre de (1) des termes qui dépendent, d’une manière spéciale, selon son expression, de certains points exceptionnels. En adoptant la définition de M. Volterra, on s’inspire des premières applications qui se sont présentées et que M. Volterra a traitées avec un succès qui justifie pratiquement sa définition. Mais il était souhaitable au point de vue logique et pour assurer le développement futur de la théorie de déduire la définition d’un principe unique et général. M. Hadamard proposa donc de “considérer comme fonctionnelles auxquelles on peut étendre les méthodes du Calcul Infinitésimal, toutes les fonctionnelles $ U_{y} $ dont la variation est une fonctionnelle linéaire de la variation de $ y $.”
77.
Cher Monsieur, Je serais désolé si vous pouviez croire que je n’apprécie pas à sa juste valeur votre contribution essentielle au Calcul Fonctionnel. Tout d’abord pas plus que vous je ne vois “de différence entre votre définition de fonction qui dépend de toutes les valeurs d’une autre fonction et les fonctionnelles ainsi que dans leurs calculs” […]
Si mes idées actuelles peuvent avoir quelque intérêt, ce n’est en tout cas, je le reconnais moi même, que comme perfectionnement secondaire de la belle théorie que vous avez édifiée.
C’est précisément parce que je considère que votre théorie est maintenant suffisamment connue que je n’avais pas cru inutile d’insister sur son importance et que j’avais proposé directement quelques perfectionnement de détails.

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Authors and Affiliations

Dipartimento di Economia, Università degli Studi dell’Insubria, Varese, Italy
Angelo Guerraggio
Laboratoire SPHERE, Université Paris Diderot, Paris, France
Frédéric Jaëck
Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université Pierre et Marie Curie, Paris, France
Laurent Mazliak

Authors

Angelo Guerraggio
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Laurent Mazliak
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Corresponding author

Correspondence to Laurent Mazliak .

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Editors and Affiliations

Humanités et sciences sociales, École polytechnique, Palaiseau Cedex, France
Frédéric Brechenmacher
Université d'Artoise, Lens, France
Guillaume Jouve
Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université Pierre et Marie Curie , Paris Cedex 05, France
Laurent Mazliak
UFR Mathématiques, Université Lille 1 , Villeneuve d'Ascq, France
Rossana Tazzioli

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Guerraggio, A., Jaëck, F., Mazliak, L. (2016). Lines on the Horizon. In: Brechenmacher, F., Jouve, G., Mazliak, L., Tazzioli, R. (eds) Images of Italian Mathematics in France . Trends in the History of Science. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-40082-2_6

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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-40082-2_6
Published: 14 October 2016
Publisher Name: Birkhäuser, Cham
Print ISBN: 978-3-319-40080-8
Online ISBN: 978-3-319-40082-2
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