Probabilistic Aspects of Infinite Trees and Some Applications

Abstract

We begin by using flows to assign a positive real number, called the branching number, to an arbitrary (irregular) infinite locally finite tree. The branching number represents the “average” number of branches per vertex and is the exponential of the dimension of (the boundary of) the tree, as introduced by Furstenberg. There are many senses in which this branching number is an average. We discuss some based variously on electrical networks, random walks, percolation, or tree-indexed (branching) random walks. A refinement of the notion of branching number uses ideas of potential theory. This creates quite precise connections among probabilistic processes on trees.

For applications, we consider the structure of the family trees of branching processes, the Hausdorff dimension and capacities of possibly random fractals, and random walks on Cayley graphs of infinite but finitely generated groups.

Résumé

Nous utilisons d’abord les flots pour associer un réel positif appelé le nombre de branchement à un arbre arbitraire (non régulier) infini, localement fini. Le nombre de branchement représente le nombre “moyen” de branches par sommet et c’est l’exponentielle de la dimension de (la frontière de) l’arbre, déjà introduit par Furstenberg. Ce nombre de branchement est une moyenne en de nombreux sens. Nous en discutons certains, issus des réseaux électriques, des marches aléatoires, de la percolation ou des marches aléatoires (avec branchement) indexées par un arbre. Un raffinement de la notion de nombre de branchement utilise les idées de la théorie du potentiel. Ceci crée des connections tout à fait précises entre les processus probabilistes sur les arbres.

Comme applications, nous considérons la structure des arbres généalogiques des processus de branchement, la dimension de Hausdorff et les capacités de fractals éventuellement aléatoires, et les marches aléatoires sur des graphes de Cayley de groupes infinis finiment engendrés.