Note sur la Géométrie Non Euclidienne (1900)

Résumé

Toutefois¹ il y a encore lieu de se demander si, en poussant plus loin les déductions, Lobatchevsky n’aurait pas fini par se heurter à une contradiction. En d’autres termes, y-a-t-il contradiction d’une part entre les axiomes admis par les géomètres (en mettant de côté le postulatum d’Euclide), et d’autre part le postulatum de Lobatchevsky? Pour nous en rendre compte, nous allons énoncer ces axiomes sous la forme suivante, en mettant en évidence ceux que les géomètres ne formulent pas d’ordinaire et qu’ils se contentent d’admettre implicitement.

In the previous paragraphs, one could read: « 5° Il résulte des propositions précédentes que deux hypothèses sont seules possibles: Ou bien, dans tous les triangles rectilignes, la somme des angles est égale à deux angles droits; alors l’angle de parallélisme est toujours droit, et par un point quelconque on ne peut mener qu’une parallèle à une droite. Ou bien, dans tous les triangles rectilignes, la somme des angles est inférieure à deux angles droits; alors, par un point quelconque, on peut mener deux parallèles à une droite, et l’angle de parallélisme, toujours aigu, varie avec la distance d’un point à un autre. La première hypothèse sert de fondement à la Géométrie ordinaire ou euclidienne. La seconde peut être également admise sans conduire à aucune contradiction; elle est la base de la Géométrie non euclidienne que Lobatchevsky a établie, jusqu’au développement complet des équations entre les côtés et les angles d’un triangle, soit rectiligne, soit sphérique (tout ce qui va suivre, dans cette Note, est dû à M. Poincaré) ».