Zusammenfassung
Im folgenden wiederholen wir in etwas veränderter Fassung die allgemeinen Betrachtungen von § 12.1. Es handelt sich darum zu entscheiden, ob ein klar formulierter Satz A wahr ist oder nicht — ein Fall, der häufig in mathematischer Forschungsarbeit eintritt. Wir haben vielleicht ein gewisses intuitives Vertrauen zu der Wahrheit von A,aber das genügt nicht : Wir wollen A beweisen oder widerlegen. Wir arbeiten an dem Problem, aber ohne entscheidenden Erfolg. Nach einiger Zeit bemerken wir eine Konsequenz B von A. Dieses B ist ein klar formulierter mathematischer Satz, von dem wir wissen, daß er aus A folgt:
-
Aus A folgt B.
Wenn wir irgendwelche einfache Sätze intuitiv verstanden haben, ist es nützlich, sie mit einer stetigen, ununterbrochenen Fortbewegung der Gedanken durchzugehen, über ihre gegenseitigen Beziehungen nachzusinnen und sich gleichzeitig mehrere davon, und zwar so viele wie möglich, klar vor Augen zu halten. Auf diese Weise wird unser Wissen bestimmter, und die Fassungskraft des Geistes wird sich merklich erhöhen. — Descartes 1)
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Referenzen
Die elfte seiner „Regeln für die Anleitung des Geistes“. Siehe Oeuvres,herausgegeben von Adam und Tannery, Bd. 10, 1908, S. 407.
Wir behandeln hier die formale Logik auf die «altmodische» Art (indem wir die gewöhnliche Sprache gebrauchen und logische Zeichen soweit wie möglich vermeiden) aber mit ein paar modernen Ideen. Einige der einfacheren logischen Zeichen werden übrigens später, besonders in § 7 gebraucht.
D. Hilbert und W. Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin, 1928.
So regen der isoperimetrische Satz und Rayleighs Vermutung, die in § 12.4 miteinander verglichen wurden, die Idee einer eventuellen gemeinsamen Verallgemeinerung an.
J. H. Wigmore, The principles ofjudicial proof,Boston, 1913; vgl. S. 9–12, 15–17.
In betreff des folgenden Falles sollte der Leser den Befund des „Supreme Court of Illinois“ heranziehen, der fast vollständig in Wigmore, 1. c. Fußnote 5, S. 83 — 88 abgedruckt ist.
; Vgl. Wigmore, l. C. Fußnote 5, S. 88.
Schule des Denkens, S. 238–248.
Vgl. J. C. Maxwell, A treatise on electricity and magnetism,zweite Auflage (1881), Bd. 1, S. 76–82.
Übrigens hat Cavexdischs Experiment sogar noch eine größere Tragweite : Es ist dazu angetan zu zeigen, daß das Gesetz r-2 annehmbarer ist als irgendein anderes Gesetz φ(r), wo φ(r) nicht auf die Form r-α beschränkt ist; vgl. Maxwell, ibid., S. 76–82.
In dieser Fußnote werden Arbeiten von dem Verfasser dieses Buchs ohne Namen zitiert; «vgl.» führt bei einer längeren Arbeit die Seite ein, auf welcher die Vermutung formuliert worden ist (manchmal in Gestalt einer Frage) ; eine mit Namen zitierte Arbeit hat den ersten Beweis der fraglichen Vermutung gebracht. Aufg. 12 : Rendiconti, Circolo Matematico di Palermo,Bd. 34 (1912), S. 89–120. Aufg. 13: L’Intermédiaire des Mathématiciens,Bd. 21 (1914), S. 27, qu. 4340; G. Szegö, Mathematische Annalen,Bd. 76 (1915), S. 490 — 503. Aufg. 14: Mathematische Annalen,Bd. 77 (1916), S. 497–513; vgl. S. 510; F. Carlson, Mathematische Zeitschrift,Bd. 9 (1921), S. 1–13. Aufg. 15 : L’Intermédiaire des Mathématiciens,Bd. 20 (1913), S. 145–146, qu. 4240; G. Szegö, Mathematische Zeitschrift,Bd. 13 (1922), S. 38; siehe auch Journal für die reine und angewandte Mathematik,Bd. 158 (1927), S. 6–18. Aufg. 16 : Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung,Bd. 28 (1919), S. 31–40; vgl. S. 38. Aufg. 17: Proceedings of the National Academy of Sciences,Bd. 33 (1947), S. 218 — 221; vgl. S. 219. Aufg. 19: Journal für die reine und angewandte Mathematik,Bd. 151 (1921), S. 1–31; vgl. Satz I, S. 3.
Vgl. G. Plya und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis,Bd. 1, S. VI.
Vgl. J. Hadamard, The psychology of invention in the mathematical field,Princeton, 1945, S. 84, 85.
Zu dem Zeitpunkt der Drucklegung dieser Übersetzung sind folgende Änderungen zu verzeichnen : Die in Aufg. 16 erwähnte Vermutung wurde durch numerische Rechnungen, die A. E. Inghams Bemerkungen weiterführen, von C. B. Haselgrove widerlegt (Mathematika,Bd. 5 (1958) S. 141–145). Die in Aufg. 17 erwähnte Vermutung wurde von M. Schiffer bewiesen (Comptes Rendus, Paris,Bd. 244 (1957) S. 3118 — 3121). Die in Aufg. 18 aufgestellte Vermutung bleibt unentschieden, sie wurde jedoch in einem umfassenden Spezialfall bestätigt (Proceedings London Math. Soc. (3) Bd. 11 (1961) S. 419–433).
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Pólya, G. (1975). Weitere Strukturen und Erste Zusammenhänge. In: Mathematik und Plausibles Schließen. Wissenschaft und Kultur, vol 15. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7671-1_3
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Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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