Spektraltheorie in Banachräumen

Zusammenfassung

Ein reeller (oder komplexer) normierter Raum X heißt eine normierte Algebra, wenn für je zwei Elemente x und y ein Produkt xy ∈ X mit den folgenden Eigenschaften erklärt ist:

Das Produkt ist

$${\text{assoziativ:}}\quad (xy)z = x(yz)\quad \quad {\kern 1pt} (x,y,z \in X);$$

(1)

$$\eqalign{ & {\text{distributiv:}}\quad (x + y)z = xz + yz{\kern 1pt} \quad \quad (x,y,z \in X); \cr & x(y + z) = xy + xz{\kern 1pt} ; \cr} $$

(2)

$$\hom ogen:\alpha \left( {xy} \right) = \left( {\alpha x} \right)y = x\left( {\alpha y} \right)\left( {\alpha \in \mathbb{C}bzw.\mathbb{R}} \right)$$

(3)

und genügt der Ungleichung

$$\left\| {xy} \right\| \leqq \left\| x \right\|\;\left\| y \right\|,$$

wobei + die Additionsoperation und ‖ · ‖ die Norm in X bedeutet. (Wenn die Gefahr eines Irrtums vorhanden ist, werden wir die Norm auch mit ‖ · ‖ _X bezeichnen.)