Minimalflächen

Zusammenfassung

Das vorige Kapitel war fast ausschliesslich den Biegungsinvarianten einer Fläche gewidmet, also der ersten Grundform und dem von dieser allein abhängigen Krümmungsmass K. Wenn auch die erste Grundform und das Krümmungsmass für die neuere Entwicklung der geometrischen Forschung eine weitaus grössere Bedeutung hatte als die mittlere Krümmung H, so darf man diese dennoch nicht in den Hintergrund stellen. Insbesondere führen die Flächen, für die überall H = 0 ist, auf eine Fülle schöner geometrischer Ergebnisse und wichtiger Zusammenhänge. Im Abschnitt 38 wurde schon gezeigt, dass die Flächen H = 0 dadurch gekennzeichnet sind, dass die Abbildung der Fläche auf ihr sphärisches Bild konform ist, und im Abschnitt 26, dass die Haupttangentenkurven der Flächen H = 0 ein orthogonales Kurvennetz bilden. Ihren Namen «Minimalflächen» verdanken sie jedoch einer anderen Eigenschaft: Es sei C eine beliebige geschlossene, sich nicht überschneidende Raumkurve. Die Aufgabe, durch C eine Fläche derart zu legen, dass der Flächeninhalt des von C umschlossenen Flächenstückes ein Minimum wird, führt zu den Minimalflächen.