Zusammenfassung
Die Eulerschen Gleichungen werden, als Anwendung des Prinzips von d’Alembert, für ein Massenelement einer ideellen (reibungslosen) Flüssigkeit abgeleitet3).
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Referenzen
L. Euler, Histoire de l’Académie, Berlin 1755. — Siehe auch Ph. Forchheimer, Hydraulik, 3. Aufl., 1930, dem wir hier im wesentlichen folgen.
Leonhard Euler (1707–1783), aus Basel. Studierte Theologie, orientalische Sprachen, Medizin und Mathematik. 1727 nach St. Petersburg berufen, wo er D.Bernoulli nachfolgt. 1741: Traité de mécanique; 1746: Einführung in die Infinitesimalrechnung; 1753: Dissertatio de principio minimae actionis; 1755: Institutiones calculi differentialis; 1768–1770: Institutiones calculi inte-gralis. — Gründer der modernen Mathematik; Erfinder der ersten Turbine; erkennt die ganze Bedeutung des Begriffes des von D. Bernoulli eingeführten Flüssigkeitsdruckes.
Die Ableitung der Eulerschen Gleichungen erfolgt hier ganz allgemein und gilt auch für nichtpermanente Strömungen.
Dieser Ausdruck ist nichts anderes als das vollständige Differential von udurch dt dividiert und nach Einsetzen von dx/dt = u, dy/dt = v, dz/dt = w entsprechend umgeschrieben. Wir hätten Gleichung (3) direkt anschreiben können.
Das Prinzip, das wir heute nach d’Alembert benennen, ist eigentlich erst von Lagrange (Mécanique analytique [1811], Bd. 1, Dynamik, Sekt. I, Art. 11) zur allgemeinen Anwendung gebracht worden. In seinen Anfängen kann es aber schon auf Jacob Bernoulli zurückgeführt werden. Vgl. E. Dühring, Kritische Geschichte der allgemeinen Prinzipien der Mechanik, Berlin 1873, S. 305 (Zitat von Forchheimer).
1) Siehe über diese Fragen: B. Eck, Technische Strömungslehre, Verlag Springer, Berlin 1941. — A. Foch, Introduction à la mécanique des fluides, A. Colin, Paris 1932. — Ph. Forchheimer, Hydraulik, 1930, sowie Lehrbücher der Mechanik und der Vektoranalysis.
2) Siehe G. Juvet, Leçons d’Analyse vectorielle, Paris 1935, Bd. II, S. 41 : Variables de Lagrange et variables d’Euler, sowie Prandtl-Tietjens, Hydro- und Aeromechanik, Berlin 1929, Bd. I, S. 64–67; Nr. 33: Lagrangesche Darstellung, und Nr. 34: Eulersche DarsteUung und ihr Zusammenhang mit der Lagrangeschen Methode.
Joseph-Louis Lagrange, Mathematiker und Astronom französischer Abstammung; 1736 in Turin geboren. Mit 19 Jahren wurde er Professor in Turin und gründete 1758 die Akademie von Turin. Er befaßte sich mit Problemen der Hydraulik und Akustik. Als Nachfolger Eulers zum Vorsitzenden der Akademie von Berlin berufen, redigierte er dort seine «Mécanique analytique», die in Paris gedruckt wurde. Er begab sich später nach Frankreich, wo er während der Revolution und unter Napoleon wichtige Ämter bekleidete. Er starb 1812 in Paris. Als Hauptwerke seien erwähnt: Additions à l’algèbre d’Euler (1772) ; Mécanique analytique (1787); Théorie des fonctions analytiques (1797); Leçons sur le calcul des fonctions (1806).
1) Siehe z. B. Prandtl-Tietjens, Hydro- und Aeromechanik, Bd. I, S. 94. — A. Foch, Introduction à la mécanique des fluides, A. Colin, Paris 1932, S. 33; oder Juvet, op. c.
rl A. Foch, Introduction à la mécanique des fluides, A. Colin, Paris 1932, S. 33 ff. — Ph.Forchheimer, Hydraulik, Leipzig 1930, S. 22 ff. — B. Eck, Technische Strömungslehre, Verlag Springer, Berlin 1941. — L. Bergeron, Exposé de la théorie des écoulements permanents à énergie constante par une méthode plus particulièrement physique, Sci. et Ind., édition Métallurgie, Constructions mécaniques, Énergie: März und April 1934.
F. Prášil, Schweiz. Bauztg. 41, 207–293 (1903); Technische Hydrodynamik, Berlin 1913.
Barillon, Note sur les rayons de courbure intervenant dans la construction des réseaux hydrodynamiques, Rev. gén. Hydraulique, Nr. 8, 1936.
Diese wichtige Eigenschaft der ebenen Strömung zeigt die direkte Verwandtschaft mit einer einfachen Parallelströmung. Man sagt, jede ebene Strömung sei das konforme Abbild einer Parallel-strömung und erkennt, daß es möglich sein muß, aus der einfachen Parallelströmung alle anderen ebenen Strömungen abzuleiten. Mit Hilfe der sog. konformen Abbildung kann diese Aufgabe rein mathematisch gelöst werden. Siehe die erwähnte Literatur: B. Eck, Foch sowie Prandtl-Tietjens, Hydro- und Aeromechanik, Berlin 1931.
Navier (1785 — 1836). Brückenbauer, Statiker und Hydrauliker. Baute Brücken, speziell Hängebrücken. — 1816: Abhandlung über Kanäle; 1823: Abhandlung über Hängebrücken. Dann Vorlesungen über Mathematik an der Ecole polytechnique in Paris. 1822: Mémoire sur les lois du mouvement des fluides, Mém. Acad. Sci. Paris.
G. G. Stokes (1819 — 1903). Physiker. 1849 Professor der Mathematik in Cambridge. -1850: Gesetz des Widerstandes in Flüssigkeiten; 1845: On the theories of the internal friction of fluids in motion. — Er hat auch in der Optik wichtige Beziehungen festgestellt.
L. Navier, Mémoire sur les lois du mouvement des fluides, Mém. Acad. Sci. Paris 6, 389 (1822). — Stokes, On the theories of the internal friction of fluids in motion, Trans. Cambridge phl. Soc. 8 (1845).
Eine allgemeine Ableitung für den Fall kompressibler Flüssigkeiten findet man z. B. bei Prandtl-Tietjens, Hydro- und Aeromechanik, Bd. II, S. 60–70. Für den einfachen Fall einer nichtkompressiblen Flüssigkeit mit linearem Abfluß, ohne andere äußere Kräfte als die Reibungskräfte (also: X = 0, ∂p/∂x = 0, v = w = 0, ∂u/∂x = ∂u/∂y — 0), läßt sich die Gleichung von Navier sehr einfach wie folgt ableiten: Es gilt nach dem Ansatz von Newton: Terzaghi-Fröhlich, Theorie der Setzungen der Tonschichten, Leipzig und Wien 1936, § 72, weisen auf die Gleichungen der Thermodynamik und der Setzungen von Tonschichten, welche in der Form mit Gleichung (4) identisch sind. Dieselbe Gleichung findet man auch in der Theorie der elektri -sehen Wellen. (Siehe Kapitel D: Die Grundwasserströmung, Abschnitt 7: Die Sickerströmungen als Potentialströmungen.)
Oseen, Zur Theorie des Flüssigkeitswiderstandes, Acta R. Soc. Sci., Upsala, 4 (1914). -Berker, Sur quelques cas d’intégration des équations du mouvement d’un fluide visqueux incompressible, Paris 1936.
Siehe auch Kapitel A, Abschnitte 3, 4 und 5.
G. Juvet, Leçons d’analyse vectorielle, Paris 1935, Bd. II. — Prandtl, Über Flüssigkeitsbewegungen bei sehr kleiner Reibung, 3. Int. Kongreß, Heidelberg 1904. — Prandtl, Bericht über Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz, Z. angew. Math. Mech. 5, 136 (1925). — Blasius, Grenzschichten in Flüssigkeiten mit sehr kleiner Reibung, Göttingen 1907. — Von kármán, Über laminare und turbulente Reibung, Z. angew. Math. Mech. 1, 233 (1921). — Gebelein, Turbulenz, Berlin 1935. — Brillouin, Tenseur d’agitation moyenne; Conductibilité et dissipation de l’énergie d’agitation, C. r. Acad. Sci. Paris 177, Nr. 24 (1923).
J.-V. Boussinesq, J. Math. 13, 402 (1868); Essai sur la théorie des eaux courantes, Mém. Acad. Sci. Paris 1877; und Théorie de l’écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides, Paris 1897.
Gebelein, Turbulenz, Berlin 1935.
S. Hayami, Hydrological studies on the Yangtse River. IV. On the mechanics of flow in a wide alluvial River, J. Shanghai Sci. Inst., Sect. I, Vol. 1, Juli 1939.
Hunter Rouse, An Analysis of sediment transportation in the light of fluid turbulence. United States Department of Agriculture; California Institute of Technology, Juli 1939.
L. Escande, Barrages, Hermann, Paris 1938.
Daniel Bernoulli (1700–1783), aus Basel, Sohn des Johann Bernoulli (Lehrer Eulers; Freund von Leibniz), Neffe des Jakob Bernoulli. Studiert Mathematik und Medizin; doziert 1725–1732 Mathematik in St. Petersburg, dann Anatomie, Physik und Philosophie in Basel. Publiziert 1738 sein berühmtes Buch über die Hydraulik, «Hydrodynamica», in Straßburg, in welchem die «Bernoullische Gleichung» zu finden ist; führt den Begriff des Flüssigkeitsdruckes ein. Mitglied der Akademien von Paris, London, Berlin, St. Petersburg. — Über Torricelli, Pascal, Euler und Bernoulli siehe: Gariel, Quelques jalons sur la route de l’Hydraulique, Rev. gén. Hydraulique, Nrn. l und 2, 1935.
A Flamant, Hydraulique, Paris 1923, S. 26/27, § 19.
Evangelista Torricelli (1608–1647). Schüler des Galileo Galilei. Studiert die Fallparabel. Entdeckt 1643 das Barometer und beweist, daß die Luft schwer ist. 1644 : De motu gravium naturaliter accelerato. 1644 studiert er hydraulische Vorgänge.
Setzt man für kompressible Flüssigkeiten y = k p, so folgt für stationäre Strömungen z + (1/k) 1n p + (V2/2 g) = const.
P. Boss, Berechnung der Wasserspiegellage beim Wechsel des Fließzustandes, Verlag Springer, Berlin 1919. — A. Koch und M. Carstanjen, Von der Bewegung des Wassers und den dabei auftretenden Kräften, Berlin 1926. — Der Begriff der Energielinie und dessen systematischer Gebrauch in der deutschsprachigen Literatur scheint von Boss eingeführt und später von Koch übernommen worden zu sein.
In den klassischen Lehrbüchern der Hydraulik werden entsprechende Formeln für andere Öffnungsformen entwickelt bzw. entsprechende Werte der Beiwerte ϕ, Ψ und µ aus Versuchen angegeben; siehe Flamant, Forchheimer, Weyrauch u. a.
Dies ist z. B. der Fall für die Ableitung der klassischen Formeln für den Ausfluß aus einer Öffnung, deren Abmessungen nicht sehr klein sind. 2) Siehe Abschnitt 9.
Gesammelte Berichte aus Betrieb und Forschung der Ruhrgas AG. (Selbstverlag).
Siehe Ch. Jaeger, Contribution à l’étude des courants liquides à surface libre, L’énoncé de Bélanger-Boss généralisé, Bull. techn. Suisse romande 69, Heft 16 und 17 (1943), und Rev. gén. Hydraulique 9, Nrn. 33 und 34 (1943) und 13, Nrn. 37–41 (1947), sowie Wasserkraft und Wasserwirtschaft 38, Nr. 12 (1943).
Der Einfachheit halber schreiben wir nun überall v statt V für die lokale Geschwindigkeit, wobei es keine Verwechslung mit deren v- Komponente mehr geben kann.
Die Definitionen von v m und von a sind auch noch für den Fall eines Abflusses in einer Rohrleitung unter Druck gültig, nicht aber die weiter unten eingeführte Definition von ß. H* 2 und H* klar hervor. H s ist eine Verallgemeinerung — auf das gesamte Profil s ausgedehnt — des Begriffes der Energiehöhe, der im Theorem von Bernoulli für den einzelnen Wasserfaden eingeführt wird. Wir können nun, auf Gleichung (22) zurückgreifend, sie sukzessiv wie folgt umschreiben :
J.-B. Bélanger, Notes sur le Cours d’Hydraulique, Mém. Ecole nat. Ponts Chaussées, Paris 1849/50, S. 32/33.
J.-A.-Ch. Bresse, Cours de mécanique appliquée, Hydraulique, Paris 1860.
J.-A.-Ch. Bresse (1822–1883). Professor an der Ecole nationale des Ponts et Chaussées (Paris), als Nachfolger von Bélanger. 1854: Recherches analytiques sur la flexion et la résistance des pièces courbes; 1859 : Cours de mécanique appliquée, tome II : Hydraulique. — In dieser Vorlesung entwickelt Bresse die berühmte Theorie der Abflüsse in offenen Gerinnen und den Impulssatz, die später von Boussinesq weiterentwickelt wurden.
Siehe die Lehrbücher von Flamant, Weyrauch-Strubel, Forchheimer, Bakhmeteff usw. sowie P. de Varennes e Mendonça, Curvas de Regolfo, Lissabon 1945, und G. Quarisa, Profili di rigurgito in alvei prismatici, Energ. elettr., August 1947.
B. de Saint-Venant, Annales des Mines 4, 320 (1851). Es sei hier darauf hingewiesen, daß diese Definition nach Bresse und de Saint-Venant der schießenden und strömenden Abflüsse nicht identisch ist mit der im Abschnitt 7, f, gegebenen Definition, nach welcher h < h c ist für das Schießen und h > h c für das Strömen. Siehe auch Fußnote Kap. B, IIIa, Abschn. 6, Wassersprung.
M. Rühlmann, Hydromechanik, 2. Aufl., Hannover 1880, S. 483. — Ph. Forchheimer, Hydraulik, 3. Aufl., Berlin und Leipzig 1930. — J. Dupuit, Etudes sur le mouvement, Paris 1863. -F. Schaffernak, siehe Darstellung bei Ph. Forchheimer, Hydraulik (1930). — P. de Varennes e Mendonça, Curvas de Regolfo, Lissabon 1945.- G. Quarisa, Energ. elettr., August 1947.
G. Tolkmitt, Grundlagen der Wasserbaukunst, 2. Aufl., S. 127, und Handbuch der Ingenieurwissenschaften, Bd. 3: Wasserbau, I.Abt., 1. Hälfte (1892).
E. Meyer-Peter, Hydraulik, Autographierte Vorlesung ETH.
A. Vitols, Beitrag zur Lösung einiger hydrometrischer Probleme, Wasserkraft und Wasserwirtschaft 38, Nr. 7 (1943).
Isaac Newton (1643–1727). Von 1669 an Professor an der Universität Cambridge. Sein Hauptwerk sind die « Philosophiae naturalis principia mathematica » (1686); außerdem noch drei mathematische und physikalische Hauptwerke: die «Optik» (1704), die «Arithmetica universalis» (1707) und die «Analysis» (1711), worin die Grundzüge der Infinitesimalrechnung entwickelt werden. Seine hervorragendste Leistung ist die Entdeckung des Gesetzes : Masse x Beschleunigung = Kraft und der Gesetze der Gravitation. Im Zusammenhang mit Newton sei hier Leibniz erwähnt (1646 bis 1716), der Entdecker der «lebendigen Kraft» (kinetische Energie), ursprünglich gleich m v2 (jetzt m v2/2) gesetzt.
Der Ausdruck «Stützkraft» scheint uns nicht sehr glücklich gewählt. Auch der öfters gemachte Vergleich mit einer Seilpolygonseite ist nicht überzeugend. De Marchi hat in der italienischen Literatur den Ausdruck «spinta totale» eingeführt; in französischer Sprache ist der Ausdruck «impulsion totale» vorgeschlagen worden, also «totaler Impuls».
Nach C. Fawer, Etude de quelques écoulements permanents à filets courbes, Lausanne 1937, macht diese Vereinfachung im Falle starker Krümmung (z. B. Wehre mit abgerundeter Krone) höchstens 2 bis 3% des berechneten Durchflusses aus.
Borda, Mém. Acad. Roy. Sci., Paris 1766, S. 592. — Die Gültigkeit der Formel von Borda-Carnot wurde von H. Baer (Dingler, Polytechn. J. 1907, S. 177) beanstandet. D. Thoma und H. Schatt, Versuche zur Bestimmung der Energieverluste bei plötzücher Rohrerweiterung, Mitt. hydraul. Inst. Techn. Hochschule München, Heft 1, 1926, haben endgültig die Anwendbarkeit der Borda-Carnotschen Formel zur Erfassung der Mischverluste nachgewiesen. — Über Querscbnitts-verengungen siehe: Weisbach, Untersuchungen auf dem Gebiete der Mechanik und der Hydraulik, Leipzig 1842, S.80, sowie Weyrauch-Strobel, Hydraulisches Rechnen (1930), S.167; A. Hruschka, Druckrohrleitungen der Wasserkraftwerke, S. 32; J. Nikuradse, Untersuchungen über die Strömungen des Wassers in konvergenten und divergenten Kanälen, VDI.-Forschungsh., Nr. 289 (1929); H. Gebelein, Turbulenz, Berlin 1935, S. 140. — Weitere ähnliche Aufgaben siehe Kapitel III, 6 bis 9, sowie Anhang II.
Jean-Charles Borda (1733–1799). Mathematiker und Seeoffizier. — 1756: Mémoire sur le mouvement des projectiles. — Untersuchungen über die Hydraulik.
Dieses Beispiel ist aus K. J. Kriemler, Hydraulik, Stuttgart 1920, S. 73, entnommen.
Über die vektorielle Behandlung des Impulssatzes siehe auch : F. Ziller, Beitrag zur Theorie der Bewegung des Wassers in offenen Kanälen und Rohrleitungen, Wasserkraft und Wasserwirtschaft, 32, Nr. 4 (1937).
Elnwachter, Nebbia, Escande, Jaeger usw.
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Jaeger, C. (1949). Die Grundgleichungen der Hydrodynamik. In: Technische Hydraulik. Lehr- und Handbücher der Ingenieurwissenschaften, vol 8. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-6942-3_2
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