Translative, Rotative und Verwandte Symmetrien

Zusammenfassung

Von der bilateralen wenden wir uns nun anderen Arten geometrischer Symmetrie zu. Selbst bei der Besprechung des bilateralen Typus konnte ich nicht umhin, gelegentlich solche andere Symmetrien, wie die zylindrische oder die sphärische, heranzuziehen. Es scheint mir am zweckmäßigsten, den zugrundeliegenden allgemeinen Begriff vorher mit einiger Präzision festzulegen, und zu diesem Zweck ist etwas Mathematik erforderlich, wofür ich um Ihre Geduld bitte. Ich habe von Transformationen gesprochen. Eine Abbildung S des Raums ordnet jedem Raumpunkt p einen Punkt p′ als seinen Bildpunkt zu. Eine besondere derartige Abbildung ist die Identität I, die jeden Punkt in sich selbst überführt. Sind zwei Transformationen S, T gegeben, so kann man die eine nach der anderen ausführen: wenn p durch S in p′ und p′ durch T in p″ übergeht, dann geht durch die resultierende Abbildung, die wir mit ST bezeichnen, p in p″ über. Eine Abbildung kann eine Inverse S′ besitzen derart, daß SS′ = I und S′S = I ist; mit anderen Worten, wenn S den beliebigen Punkt p in p′ überführt, so führt S′ umgekehrt p′ wieder in p über; es verhält sich ähnlich, wenn S′ an erster und S an zweiter Stelle ausgeübt wird.