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Zusammenfassung

Eine Funktion f: ℝn+1 → ℂ (n≥1) heißt radial, falls f stabil ist gegen alle (orientierungserhaltenden) orthogonalen Transformationen des ℝn+1, falls also für jeden Punkt x ∈ ℝn+1 die Beziehung
$$f(x) = f(sx)(s \in SO(n + 1))$$
gilt. Dabei bezeichnet SO(n+1) die spezielle orthogonale Gruppe in n+1 (reellen) Variablen. Eine radiale Funktion f ist demnach auf jeder n-Sphäre r.$n (r≧O) um den Nullpunkt des ℝn+1 constant und induziert somit eine Funktion f : ℝ+ → ℂ gemäß
$$f(x) = {f_o}(\left| x \right|)(x \in I{R^{n + 1}})$$
, wobei ∣•∣ die vom Skalarprodukt (.∣.) induzierte euklidische Norm des Vektorraumes ℝn+1 bezeichnet. Umgekehrt wird durch jede Funktion f : ℝ+ → ℂ mit Hilfe der Zuordnung
$$f:x \to {f_o}(\left| x \right|)$$
eine radiale Funktion f: ℝn+1 → ℂ definiert. Trotz dieser Korrespondenz ist natürlich die Theorie der radialen Funktionen keineswegs “eindimensionalen Charakters”. Dies erkennt man beispielsweise, wenn man die Fourier-Transformierte Tf = F einer radialen Funktion f ∈ L1 (ℝn+1) berechnet.

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Copyright information

© Springer Basel AG 1979

Authors and Affiliations

  • Walter Schempp
    • 1
  1. 1.Lehrstuhl für Mathematik IUniversität Siegen (Gesamthochschule)Siegen 21Germany

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