Die geometrische Reihe

Zusammenfassung

Die harmonische Reihe ist zweifellos die berühmteste unter den divergierenden Reihen. Unter den konvergierenden Reihen gebührt diese Auszeichnung vorbehaltlos der geometrischen Reihe. Ihr sind wir schon im Zusammenhang mit dem Läuferparadoxon begegnet. In einer geometrischen Folge beginnen wir mit einem Anfangsglied a und erhalten die weiteren Glieder durch wiederholte Multiplikation mit einer konstanten Zahl q: a, aq, aq ², ..., aq ⁿ, ... Diese Konstante q ist der Quotient der Folge. Es gibt Folgen, die nach einer bestimmten Anzahl von Gliedern enden; in diesem Fall schreiben wir natürlich keine drei Punkte am Schluß. Für solche endlichen geometrischen Folgen gibt es zahlreiche Beispiele aus dem täglichen Leben. Am bekanntesten ist wohl der Zinseszins: Legt man beispielsweise eine bestimmte Summe, sagen wir $ 100, zu einem Jahreszins von 5% auf das Sparbuch, so vermehrt sich die Summe an jedem Jahresende um den Faktor 1,05, was die Folge $ 100,00; 105,00; 110,25; 115,76; 121,55 usw. ergibt (die Zahlen sind gerundete Werte).¹ Zumindest auf dem Papier sieht dieses Wachstum sehr beeindruckend aus, doch leider macht die Inflationsrate die Freude, die man angesichts der Geldmehrung empfunden haben mag, schnell genug zunichte.

Mit Ausnahme der geometrischen Reihe gibt es in der gesamten Mathematik nicht eine einzige unendliche Reihe, deren Summe logisch streng bestimmt worden wäre.

Niels Henrik Abel (1802–1829)